Номер 1434, страница 266 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения для повторения курса 7 класса - номер 1434, страница 266.

Условие.

1434.При каком значении $a$ разность $x - y$ принимает наименьшее значение, если:

$\begin{cases} x - 5y = a^2 + 10a + 1,\\ 4x + y = 4a^2 - 2a + 4?\end{cases}$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для того чтобы найти, при каком значении $a$ разность $x - y$ принимает наименьшее значение, необходимо сначала выразить $x$ и $y$ через параметр $a$, решив данную систему уравнений. Затем, подставив полученные выражения в разность $x - y$, мы получим функцию от $a$, наименьшее значение которой нам и предстоит найти.

Имеем систему уравнений:$\begin{cases}x - 5y = a^2 + 10a + 1, \\4x + y = 4a^2 - 2a + 4.\end{cases}$

Решим эту систему методом сложения. Для этого умножим второе уравнение на 5, чтобы коэффициенты при $y$ стали противоположными по знаку:$\begin{cases}x - 5y = a^2 + 10a + 1, \\5(4x + y) = 5(4a^2 - 2a + 4)\end{cases}\implies\begin{cases}x - 5y = a^2 + 10a + 1, \\20x + 5y = 20a^2 - 10a + 20.\end{cases}$

Теперь сложим два уравнения системы:$ (x - 5y) + (20x + 5y) = (a^2 + 10a + 1) + (20a^2 - 10a + 20) $$ 21x = 21a^2 + 21 $Разделим обе части уравнения на 21:$ x = a^2 + 1 $

Подставим найденное выражение для $x$ во второе исходное уравнение, чтобы найти $y$:$ 4(a^2 + 1) + y = 4a^2 - 2a + 4 $$ 4a^2 + 4 + y = 4a^2 - 2a + 4 $Перенесем слагаемые, чтобы выразить $y$:$ y = 4a^2 - 2a + 4 - 4a^2 - 4 $$ y = -2a $

Теперь, когда мы выразили $x$ и $y$ через $a$, найдем разность $x - y$:$ x - y = (a^2 + 1) - (-2a) = a^2 + 2a + 1 $

Мы получили выражение $a^2 + 2a + 1$. Это квадратичная функция от $a$. Чтобы найти, при каком значении $a$ она принимает наименьшее значение, можно заметить, что это выражение является формулой полного квадрата:$ a^2 + 2a + 1 = (a + 1)^2 $

Выражение $(a+1)^2$ является квадратом действительного числа, поэтому его значение всегда неотрицательно, то есть $(a+1)^2 \ge 0$. Наименьшее значение, равное 0, данное выражение принимает тогда, когда основание степени равно нулю:$ a + 1 = 0 $$ a = -1 $

Таким образом, разность $x - y$ принимает наименьшее значение при $a = -1$.

Ответ: при $a = -1$.