Номер 1435, страница 266 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения для повторения курса 7 класса - номер 1435, страница 266.

Условие.

1435. По окружности, длина которой равна 100 м, движутся два тела. Они встречаются каждые 20 с, двигаясь в одном направлении. Если бы они двигались в противоположных направлениях, то встречались бы каждые 4 с. С какой скоростью они движутся?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для решения задачи введем переменные. Пусть $v_1$ — скорость первого тела, а $v_2$ — скорость второго тела. По условию, длина окружности $L = 100$ м. Будем считать, что $v_1 > v_2$.

Рассмотрим первый случай: тела движутся в одном направлении. Они встречаются каждые $t_1 = 20$ с. Это означает, что за 20 секунд более быстрое тело проходит расстояние, равное дистанции, пройденной медленным телом, плюс один полный круг (длина окружности). Относительная скорость тел при движении в одном направлении равна разности их скоростей $(v_1 - v_2)$. Таким образом, можно составить уравнение:

$L = (v_1 - v_2) \cdot t_1$

Подставим известные значения:

$100 = (v_1 - v_2) \cdot 20$

Из этого уравнения выразим разность скоростей:

$v_1 - v_2 = \frac{100}{20} = 5$

Рассмотрим второй случай: тела движутся в противоположных направлениях. Они встречаются каждые $t_2 = 4$ с. При движении навстречу друг другу их относительная скорость (скорость сближения) равна сумме их скоростей $(v_1 + v_2)$. За 4 секунды суммарное расстояние, которое они проходят, равно длине окружности. Составим второе уравнение:

$L = (v_1 + v_2) \cdot t_2$

Подставим известные значения:

$100 = (v_1 + v_2) \cdot 4$

Из этого уравнения выразим сумму скоростей:

$v_1 + v_2 = \frac{100}{4} = 25$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} v_1 - v_2 = 5 \\ v_1 + v_2 = 25 \end{cases}$

Сложим первое и второе уравнения системы:

$(v_1 - v_2) + (v_1 + v_2) = 5 + 25$

$2v_1 = 30$

$v_1 = 15$ м/с

Подставим найденное значение $v_1$ во второе уравнение системы, чтобы найти $v_2$:

$15 + v_2 = 25$

$v_2 = 25 - 15$

$v_2 = 10$ м/с

Ответ: скорости тел равны 15 м/с и 10 м/с.