Номер 1432, страница 266 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения для повторения курса 7 класса - номер 1432, страница 266.

Условие.

1432. Составьте систему двух линейных уравнений с двумя переменными, решением которой является пара чисел:

1) $(1; 1)$;

2) $(-3; 5)$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) Задача состоит в том, чтобы найти два различных линейных уравнения вида $ax + by = c$, которым удовлетворяет пара чисел $(1; 1)$, то есть $x=1$ и $y=1$. Существует бесконечное множество таких систем, поэтому мы можем выбрать коэффициенты $a$ и $b$ произвольно, а затем вычислить $c$.
Составим первое уравнение. Возьмем, к примеру, коэффициенты $a_1=1$ и $b_1=1$. Подставим значения $x$ и $y$ в левую часть уравнения, чтобы найти $c_1$:
$c_1 = a_1x + b_1y = 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 = 2$.
Таким образом, первое уравнение: $x + y = 2$.
Составим второе уравнение. Выберем другие коэффициенты, например, $a_2=2$ и $b_2=-1$. Снова найдем $c_2$:
$c_2 = a_2x + b_2y = 2 \cdot 1 + (-1) \cdot 1 = 2 - 1 = 1$.
Второе уравнение: $2x - y = 1$.
Запишем эти два уравнения в виде системы: $$ \begin{cases} x + y = 2 \\ 2x - y = 1 \end{cases} $$ Эта система является одним из возможных решений, так как пара чисел $(1; 1)$ удовлетворяет обоим уравнениям.
Ответ: $$ \begin{cases} x + y = 2 \\ 2x - y = 1 \end{cases} $$

2) Аналогично составим систему для пары чисел $(-3; 5)$, где $x=-3$ и $y=5$.
Для первого уравнения выберем коэффициенты $a_1=1$ и $b_1=1$. Найдем соответствующее значение $c_1$:
$c_1 = a_1x + b_1y = 1 \cdot (-3) + 1 \cdot 5 = -3 + 5 = 2$.
Первое уравнение: $x + y = 2$.
Для второго уравнения выберем другие коэффициенты, например, $a_2=1$ и $b_2=-1$. Найдем $c_2$:
$c_2 = a_2x + b_2y = 1 \cdot (-3) + (-1) \cdot 5 = -3 - 5 = -8$.
Второе уравнение: $x - y = -8$.
Объединим уравнения в систему: $$ \begin{cases} x + y = 2 \\ x - y = -8 \end{cases} $$ Эта система имеет решением пару чисел $(-3; 5)$.
Ответ: $$ \begin{cases} x + y = 2 \\ x - y = -8 \end{cases} $$