Номер 1428, страница 265 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения для повторения курса 7 класса - номер 1428, страница 265.

Условие.

1428. Постройте график функции:

1) $y = |x| - 3$;

2) $y = |x - 3|$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) $y = |x| - 3$

Для построения графика функции $y = |x| - 3$ воспользуемся методом преобразования графиков. В качестве базового графика возьмем график функции $y = |x|$.

1. График функции $y = |x|$ представляет собой объединение двух лучей: $y = x$ при $x \ge 0$ и $y = -x$ при $x < 0$. Это "галочка" с вершиной в начале координат, в точке $(0, 0)$, и ветвями, направленными вверх.

2. Чтобы из графика $y = |x|$ получить график $y = |x| - 3$, необходимо выполнить параллельный перенос исходного графика на 3 единицы вниз вдоль оси ординат (оси Oy). Каждая точка графика $(x, y)$ сместится в точку $(x, y-3)$.

В результате этого сдвига вершина графика переместится из точки $(0, 0)$ в точку $(0, -3)$.

Найдем ключевые точки для построения:

• Вершина графика: точка $(0, -3)$.
• Точки пересечения с осью Ox (осью абсцисс): для этого решим уравнение $y=0$.
  $|x| - 3 = 0$
  $|x| = 3$
  Это дает два корня: $x_1 = 3$ и $x_2 = -3$.
  Таким образом, точки пересечения с осью Ox: $(-3, 0)$ и $(3, 0)$.
• Точка пересечения с осью Oy (осью ординат): $x=0$, $y = |0| - 3 = -3$. Это вершина $(0, -3)$.

Соединив вершину $(0, -3)$ с точками $(-3, 0)$ и $(3, 0)$ и продолжив лучи вверх, получим искомый график.

Ответ: График функции $y = |x| - 3$ получается путем сдвига графика функции $y = |x|$ на 3 единицы вниз вдоль оси Oy. График представляет собой "галочку" с вершиной в точке $(0, -3)$, ветви которой направлены вверх и проходят через точки $(-3, 0)$ и $(3, 0)$.

2) $y = |x - 3|$

Для построения графика функции $y = |x - 3|$ также воспользуемся методом преобразования графика $y = |x|$.

1. Как и в предыдущем случае, начинаем с графика $y = |x|$.

2. Чтобы из графика $y = |x|$ получить график $y = |x - 3|$, необходимо выполнить параллельный перенос исходного графика на 3 единицы вправо вдоль оси абсцисс (оси Ox). Каждая точка графика $(x, y)$ сместится в точку $(x+3, y)$.

В результате этого сдвига вершина графика переместится из точки $(0, 0)$ в точку $(3, 0)$.

Альтернативно, можно раскрыть модуль по определению:
$y = \begin{cases} x - 3, & \text{если } x - 3 \ge 0 \text{, то есть } x \ge 3 \\ -(x - 3) = -x + 3, & \text{если } x - 3 < 0 \text{, то есть } x < 3 \end{cases}$
Это означает, что при $x \ge 3$ мы строим луч прямой $y = x - 3$, а при $x < 3$ — луч прямой $y = -x + 3$. Оба луча исходят из общей точки $(3, 0)$.

Найдем ключевые точки для построения:

• Вершина графика: точка, в которой подмодульное выражение равно нулю. $x - 3 = 0 \implies x = 3$. При $x = 3$, $y = |3-3| = 0$. Вершина в точке $(3, 0)$.
• Точка пересечения с осью Ox: это и есть вершина $(3, 0)$.
• Точка пересечения с осью Oy: $x=0$, $y = |0 - 3| = |-3| = 3$. Точка $(0, 3)$.
• Возьмем еще одну симметричную точку относительно оси симметрии $x=3$. Например, при $x=6$, $y=|6-3|=3$. Точка $(6,3)$.

Соединив вершину $(3, 0)$ с точками $(0, 3)$ и $(6, 3)$ и продолжив лучи вверх, получим искомый график.

Ответ: График функции $y = |x - 3|$ получается путем сдвига графика функции $y = |x|$ на 3 единицы вправо вдоль оси Ox. График представляет собой "галочку" с вершиной в точке $(3, 0)$, ветви которой направлены вверх. Ось симметрии графика — прямая $x=3$.