Номер 1433, страница 266 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения для повторения курса 7 класса - номер 1433, страница 266.

Условие.

1433. При каком значении $a$ сумма $x + y$ принимает наименьшее значение, если:

$$ \begin{cases} 2x + 3y = 2a^2 - 12a + 8, \\ 3x - 2y = 3a^2 + 8a + 12? \end{cases} $$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для того чтобы найти, при каком значении параметра $a$ сумма $x + y$ принимает наименьшее значение, необходимо сначала выразить $x$ и $y$ через $a$. Для этого решим данную систему линейных уравнений.

Исходная система уравнений:$$ \begin{cases} 2x + 3y = 2a^2 - 12a + 8 \\ 3x - 2y = 3a^2 + 8a + 12 \end{cases} $$

Решим систему методом алгебраического сложения. Сначала исключим переменную $y$. Для этого умножим первое уравнение на 2, а второе на 3:$$ \begin{cases} 2 \cdot (2x + 3y) = 2 \cdot (2a^2 - 12a + 8) \\ 3 \cdot (3x - 2y) = 3 \cdot (3a^2 + 8a + 12) \end{cases} $$$$ \begin{cases} 4x + 6y = 4a^2 - 24a + 16 \\ 9x - 6y = 9a^2 + 24a + 36 \end{cases} $$

Теперь сложим эти два уравнения:$(4x + 9x) + (6y - 6y) = (4a^2 + 9a^2) + (-24a + 24a) + (16 + 36)$

$13x = 13a^2 + 52$

Разделим обе части уравнения на 13, чтобы найти $x$:$x = a^2 + 4$

Теперь найдем переменную $y$. Для этого вернемся к исходной системе и исключим переменную $x$. Умножим первое уравнение на 3, а второе на 2:$$ \begin{cases} 3 \cdot (2x + 3y) = 3 \cdot (2a^2 - 12a + 8) \\ 2 \cdot (3x - 2y) = 2 \cdot (3a^2 + 8a + 12) \end{cases} $$$$ \begin{cases} 6x + 9y = 6a^2 - 36a + 24 \\ 6x - 4y = 6a^2 + 16a + 24 \end{cases} $$

Вычтем второе уравнение из первого:$(6x - 6x) + (9y - (-4y)) = (6a^2 - 6a^2) + (-36a - 16a) + (24 - 24)$

$13y = -52a$

Разделим обе части уравнения на 13, чтобы найти $y$:$y = -4a$

Теперь, когда мы выразили $x$ и $y$ через $a$, найдем их сумму, которую обозначим как $S(a)$:$S(a) = x + y = (a^2 + 4) + (-4a) = a^2 - 4a + 4$

Мы получили квадратичную функцию $S(a) = a^2 - 4a + 4$. Нам нужно найти, при каком значении $a$ эта функция принимает наименьшее значение. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $a^2$ равен 1 (положительное число). Следовательно, наименьшее значение функция принимает в своей вершине.

Выражение для $S(a)$ можно представить в виде полного квадрата:$S(a) = (a - 2)^2$

Квадрат любого действительного числа является неотрицательной величиной, то есть $(a - 2)^2 \ge 0$. Наименьшее значение, равное 0, достигается, когда выражение в скобках равно нулю:$a - 2 = 0$$a = 2$

Таким образом, сумма $x + y$ принимает наименьшее значение при $a=2$.

Ответ: при $a = 2$.