Номер 1439, страница 266 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения для повторения курса 7 класса - номер 1439, страница 266.

Условие.

1439. С одного поля собрали по 40 ц ячменя с гектара, а с другого – по 35 ц с гектара. Всего собрали 2600 ц. На следующий год урожайность первого поля увеличилась на 10%, второго – на 20%, а в результате всего с двух полей собрали на 400 ц больше. Найдите площадь каждого поля.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для решения задачи введем переменные. Пусть $x$ – площадь первого поля в гектарах (га), а $y$ – площадь второго поля в гектарах (га).

1. Составление уравнения по данным первого года.

В первый год урожайность первого поля составляла 40 центнеров (ц) с гектара, а второго – 35 ц с гектара. Урожай, собранный с первого поля, равен $40x$ ц, а со второго – $35y$ ц. По условию, общий урожай составил 2600 ц. Составим первое уравнение:

$40x + 35y = 2600$

2. Составление уравнения по данным второго года.

На следующий год урожайность первого поля увеличилась на 10% и стала равна $40 \cdot (1 + \frac{10}{100}) = 40 \cdot 1.1 = 44$ ц/га.

Урожайность второго поля увеличилась на 20% и стала равна $35 \cdot (1 + \frac{20}{100}) = 35 \cdot 1.2 = 42$ ц/га.

Общий урожай во второй год был на 400 ц больше, чем в первый, и составил $2600 + 400 = 3000$ ц. Урожай, собранный с первого поля, равен $44x$ ц, а со второго – $42y$ ц. Составим второе уравнение:

$44x + 42y = 3000$

3. Решение системы уравнений.

Мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя переменными:

$\begin{cases} 40x + 35y = 2600 \\ 44x + 42y = 3000 \end{cases}$

Упростим оба уравнения для удобства вычислений. Разделим обе части первого уравнения на 5, а второго – на 2:

$\begin{cases} 8x + 7y = 520 \\ 22x + 21y = 1500 \end{cases}$

Для решения системы методом алгебраического сложения умножим первое уравнение на -3, чтобы коэффициенты при переменной $y$ стали противоположными:

$-3 \cdot (8x + 7y) = -3 \cdot 520$

$-24x - 21y = -1560$

Теперь сложим полученное уравнение со вторым уравнением системы:

$(-24x - 21y) + (22x + 21y) = -1560 + 1500$

$-2x = -60$

$x = 30$

Мы нашли площадь первого поля. Теперь подставим значение $x=30$ в упрощенное первое уравнение ($8x + 7y = 520$) чтобы найти $y$:

$8(30) + 7y = 520$

$240 + 7y = 520$

$7y = 520 - 240$

$7y = 280$

$y = 40$

Таким образом, площадь первого поля составляет 30 га, а второго – 40 га.

Проверка:

Первый год: $40 \cdot 30 + 35 \cdot 40 = 1200 + 1400 = 2600$ ц. Верно.

Второй год: $44 \cdot 30 + 42 \cdot 40 = 1320 + 1680 = 3000$ ц. Верно ($2600 + 400 = 3000$).

Ответ: Площадь первого поля – 30 га, площадь второго поля – 40 га.