Номер 1431, страница 265 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения для повторения курса 7 класса - номер 1431, страница 265.

Условие.

1431. Решите систему уравнений:

1) $ \begin{cases} 3x + 7y = 1, \\ 6y - 5x = 16; \end{cases} $

2) $ \begin{cases} 3x - 5y = 19, \\ 2x + 3y = 0; \end{cases} $

3) $ \begin{cases} 3(2a - 1) + 6(7 - b) = 51, \\ 2(a + 6) - 7(1 + 6b) = 49; \end{cases} $

4) $ \begin{cases} \frac{3x - 2y}{4} - \frac{4x + 5}{3} = -5, \\ \frac{6x - 5y}{2} + \frac{2x + y}{5} = 9. \end{cases} $

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} 3x + 7y = 1 \\ 6y - 5x = 16 \end{cases} $$

Для удобства приведем второе уравнение к стандартному виду, поменяв местами слагаемые:

$$ \begin{cases} 3x + 7y = 1 \\ -5x + 6y = 16 \end{cases} $$

Воспользуемся методом сложения. Умножим первое уравнение на $5$, а второе на $3$, чтобы коэффициенты при $x$ стали противоположными числами:

$$ \begin{cases} 5(3x + 7y) = 5 \cdot 1 \\ 3(-5x + 6y) = 3 \cdot 16 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 15x + 35y = 5 \\ -15x + 18y = 48 \end{cases} $$

Сложим почленно два полученных уравнения:

$(15x + 35y) + (-15x + 18y) = 5 + 48$

$53y = 53$

$y = 1$

Подставим найденное значение $y$ в первое исходное уравнение:

$3x + 7(1) = 1$

$3x + 7 = 1$

$3x = 1 - 7$

$3x = -6$

$x = -2$

Проверка: подставим $x = -2$ и $y = 1$ во второе уравнение: $6(1) - 5(-2) = 6 + 10 = 16$. Верно.

Ответ: $(-2; 1)$

---

2) Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} 3x - 5y = 19 \\ 2x + 3y = 0 \end{cases} $$

Воспользуемся методом подстановки. Из второго уравнения выразим $x$ через $y$:

$2x = -3y$

$x = -\frac{3}{2}y$

Подставим это выражение для $x$ в первое уравнение:

$3(-\frac{3}{2}y) - 5y = 19$

$-\frac{9}{2}y - 5y = 19$

Умножим обе части уравнения на $2$, чтобы избавиться от дроби:

$-9y - 10y = 38$

$-19y = 38$

$y = -2$

Теперь найдем $x$, подставив значение $y$ в выражение для $x$:

$x = -\frac{3}{2}(-2)$

$x = 3$

Проверка: подставим $x = 3$ и $y = -2$ в первое уравнение: $3(3) - 5(-2) = 9 + 10 = 19$. Верно.

Ответ: $(3; -2)$

---

3) Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} 3(2a - 1) + 6(7 - b) = 51 \\ 2(a + 6) - 7(1 + 6b) = 49 \end{cases} $$

Сначала упростим каждое уравнение, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые.

Первое уравнение:

$6a - 3 + 42 - 6b = 51$

$6a - 6b + 39 = 51$

$6a - 6b = 51 - 39$

$6a - 6b = 12$

Разделим обе части на $6$:

$a - b = 2$

Второе уравнение:

$2a + 12 - 7 - 42b = 49$

$2a - 42b + 5 = 49$

$2a - 42b = 49 - 5$

$2a - 42b = 44$

Разделим обе части на $2$:

$a - 21b = 22$

Получили упрощенную систему:

$$ \begin{cases} a - b = 2 \\ a - 21b = 22 \end{cases} $$

Из первого уравнения выразим $a$: $a = b + 2$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$(b + 2) - 21b = 22$

$-20b = 22 - 2$

$-20b = 20$

$b = -1$

Найдем $a$, подставив значение $b$:

$a = -1 + 2 = 1$

Проверка: подставим $a=1, b=-1$ в исходное первое уравнение: $3(2(1) - 1) + 6(7 - (-1)) = 3(1) + 6(8) = 3 + 48 = 51$. Верно.

Ответ: $(1; -1)$

---

4) Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} \frac{3x - 2y}{4} - \frac{4x + 5}{3} = -5 \\ \frac{6x - 5y}{2} + \frac{2x + y}{5} = 9 \end{cases} $$

Упростим каждое уравнение, избавившись от знаменателей.

Первое уравнение. Общий знаменатель $12$. Умножим обе части на $12$:

$12 \cdot \frac{3x - 2y}{4} - 12 \cdot \frac{4x + 5}{3} = 12 \cdot (-5)$

$3(3x - 2y) - 4(4x + 5) = -60$

$9x - 6y - 16x - 20 = -60$

$-7x - 6y = -40$

Умножим на $-1$:

$7x + 6y = 40$

Второе уравнение. Общий знаменатель $10$. Умножим обе части на $10$:

$10 \cdot \frac{6x - 5y}{2} + 10 \cdot \frac{2x + y}{5} = 10 \cdot 9$

$5(6x - 5y) + 2(2x + y) = 90$

$30x - 25y + 4x + 2y = 90$

$34x - 23y = 90$

Получили упрощенную систему:

$$ \begin{cases} 7x + 6y = 40 \\ 34x - 23y = 90 \end{cases} $$

Решим систему методом сложения. Умножим первое уравнение на $23$, а второе на $6$, чтобы избавиться от $y$:

$$ \begin{cases} 23(7x + 6y) = 23 \cdot 40 \\ 6(34x - 23y) = 6 \cdot 90 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 161x + 138y = 920 \\ 204x - 138y = 540 \end{cases} $$

Сложим два полученных уравнения:

$(161x + 138y) + (204x - 138y) = 920 + 540$

$365x = 1460$

$x = \frac{1460}{365} = 4$

Подставим $x = 4$ в упрощенное первое уравнение $7x + 6y = 40$:

$7(4) + 6y = 40$

$28 + 6y = 40$

$6y = 12$

$y = 2$

Проверка: подставим $x=4, y=2$ в упрощенное второе уравнение: $34(4) - 23(2) = 136 - 46 = 90$. Верно.

Ответ: $(4; 2)$