Номер 1424, страница 265 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения для повторения курса 7 класса - номер 1424, страница 265.

Условие.

1424. вляется ли линейной функция:

1) $f(x) = (x - 1)(x + 1) - x(x - 3);$

2) $f(x) = (2x - 3)^2 - (x + 4)(x - 2);$

3) $f(x) = (x + 3)^2 - x(x + 6)?$

В случае утвердительного ответа постройте её график.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) $f(x) = (x - 1)(x + 1) - x(x - 3)$
Чтобы определить, является ли функция линейной, необходимо привести ее к виду $y = kx + b$. Для этого упростим данное выражение, раскрыв скобки.
Используем формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ для первого произведения и распределительный закон для второго:
$f(x) = (x^2 - 1^2) - (x \cdot x - x \cdot 3) = (x^2 - 1) - (x^2 - 3x)$
Теперь раскроем вторые скобки и приведем подобные слагаемые:
$f(x) = x^2 - 1 - x^2 + 3x = (x^2 - x^2) + 3x - 1 = 3x - 1$
Полученная функция $f(x) = 3x - 1$ является линейной, так как она имеет вид $y = kx + b$, где коэффициент $k=3$ и $b=-1$.
Графиком линейной функции является прямая. Для ее построения достаточно найти координаты двух любых точек.

1. Пусть $x = 0$, тогда $y = 3 \cdot 0 - 1 = -1$. Получаем точку $(0, -1)$.
2. Пусть $x = 2$, тогда $y = 3 \cdot 2 - 1 = 6 - 1 = 5$. Получаем точку $(2, 5)$.

Отмечаем эти две точки на координатной плоскости и проводим через них прямую.

Ответ: Да, функция является линейной. Ее уравнение $f(x) = 3x - 1$. График — прямая линия, проходящая через точки $(0, -1)$ и $(2, 5)$.

2) $f(x) = (2x - 3)^2 - (x + 4)(x - 2)$
Упростим данное выражение. Используем формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ и правило умножения многочленов:
$f(x) = ((2x)^2 - 2 \cdot 2x \cdot 3 + 3^2) - (x^2 - 2x + 4x - 8)$
$f(x) = (4x^2 - 12x + 9) - (x^2 + 2x - 8)$
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$f(x) = 4x^2 - 12x + 9 - x^2 - 2x + 8 = (4x^2 - x^2) + (-12x - 2x) + (9 + 8) = 3x^2 - 14x + 17$
Выражение $f(x) = 3x^2 - 14x + 17$ содержит переменную $x$ во второй степени ($x^2$). Следовательно, эта функция не является линейной. Это квадратичная функция, графиком которой является парабола.

Ответ: Нет, функция не является линейной.

3) $f(x) = (x + 3)^2 - x(x + 6)$
Упростим данное выражение. Используем формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ и распределительный закон:
$f(x) = (x^2 + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2) - (x \cdot x + x \cdot 6)$
$f(x) = (x^2 + 6x + 9) - (x^2 + 6x)$
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$f(x) = x^2 + 6x + 9 - x^2 - 6x = (x^2 - x^2) + (6x - 6x) + 9 = 9$
Получили функцию $f(x) = 9$. Ее можно записать в виде $f(x) = 0 \cdot x + 9$. Это линейная функция, где $k=0$ и $b=9$.
Графиком данной функции является прямая $y = 9$. Это горизонтальная прямая, параллельная оси абсцисс (Ox) и проходящая через точку $(0, 9)$ на оси ординат (Oy).

Ответ: Да, функция является линейной. Ее уравнение $f(x) = 9$. График — горизонтальная прямая, проходящая через точку $(0, 9)$.