Номер 1417, страница 264 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения для повторения курса 7 класса - номер 1417, страница 264.

Условие.

1417. Можно ли утверждать, что значение выражения $n^3 + 2n$ делится нацело на 3 при любом натуральном значении $n$?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Да, можно утверждать, что значение выражения $n^3 + 2n$ делится нацело на 3 при любом натуральном значении $n$. Это можно доказать несколькими способами.

Способ 1: Алгебраическое преобразование

Преобразуем исходное выражение. Представим $2n$ как $3n - n$:

$n^3 + 2n = n^3 - n + 3n$

Выражение $3n$ очевидно делится на 3 при любом натуральном $n$, так как содержит множитель 3.

Рассмотрим выражение $n^3 - n$. Вынесем $n$ за скобки и применим формулу разности квадратов:

$n^3 - n = n(n^2 - 1) = n(n-1)(n+1)$

Переставив множители, получим $(n-1)n(n+1)$. Это произведение трех последовательных натуральных чисел. Среди любых трех последовательных чисел одно обязательно делится на 3. Следовательно, их произведение $(n-1)n(n+1)$ всегда делится на 3.

Так как оба слагаемых в сумме $(n^3 - n) + 3n$ делятся на 3, то и вся сумма, равная $n^3 + 2n$, делится на 3.

Способ 2: Метод математической индукции

1. База индукции: Проверим утверждение для $n=1$.

$1^3 + 2 \cdot 1 = 1 + 2 = 3$. Число 3 делится на 3. Утверждение верно для $n=1$.

2. Индукционное предположение: Предположим, что утверждение верно для некоторого натурального числа $k$, то есть $k^3 + 2k$ делится на 3.

3. Индукционный шаг: Докажем, что утверждение верно для $n = k+1$, то есть что выражение $(k+1)^3 + 2(k+1)$ делится на 3.

Раскроем скобки и преобразуем выражение:

$(k+1)^3 + 2(k+1) = (k^3 + 3k^2 + 3k + 1) + (2k + 2) = k^3 + 3k^2 + 5k + 3$

Сгруппируем слагаемые, чтобы использовать индукционное предположение:

$(k^3 + 2k) + 3k^2 + 3k + 3 = (k^3 + 2k) + 3(k^2 + k + 1)$

Первое слагаемое, $(k^3 + 2k)$, делится на 3 по нашему предположению. Второе слагаемое, $3(k^2 + k + 1)$, также делится на 3, так как содержит множитель 3. Сумма двух чисел, делящихся на 3, также делится на 3. Следовательно, $(k+1)^3 + 2(k+1)$ делится на 3.

По принципу математической индукции, утверждение доказано для всех натуральных $n$.

Способ 3: Рассмотрение остатков от деления на 3

Любое натуральное число $n$ при делении на 3 может давать один из трех остатков: 0, 1 или 2. Рассмотрим каждый случай.

1. $n$ делится на 3. То есть $n = 3k$, где $k$ — натуральное число.

$(3k)^3 + 2(3k) = 27k^3 + 6k = 3(9k^3 + 2k)$. Выражение делится на 3.

2. $n$ дает остаток 1 при делении на 3. То есть $n = 3k+1$, где $k$ — целое неотрицательное число. В этом случае $n \equiv 1 \pmod{3}$. Тогда:

$n^3 + 2n \equiv 1^3 + 2(1) \pmod{3} \equiv 1 + 2 \pmod{3} \equiv 3 \pmod{3} \equiv 0 \pmod{3}$.

Значит, выражение делится на 3.

3. $n$ дает остаток 2 при делении на 3. То есть $n = 3k+2$, где $k$ — целое неотрицательное число. В этом случае $n \equiv 2 \pmod{3}$. Тогда:

$n^3 + 2n \equiv 2^3 + 2(2) \pmod{3} \equiv 8 + 4 \pmod{3} \equiv 12 \pmod{3} \equiv 0 \pmod{3}$.

Значит, выражение делится на 3.

Поскольку выражение делится на 3 во всех возможных случаях, оно делится на 3 при любом натуральном $n$.

Ответ: Да, можно утверждать.