Номер 1410, страница 264 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения для повторения курса 7 класса - номер 1410, страница 264.

Условие.

1410. Докажите, что разность куба натурального числа и самого этого числа делится нацело на 6.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Пусть $n$ — произвольное натуральное число. Требуется доказать, что разность куба этого числа и самого числа, то есть выражение $n^3 - n$, делится нацело на 6.

Для начала преобразуем данное выражение, разложив его на множители. Сначала вынесем общий множитель $n$ за скобки: $n^3 - n = n(n^2 - 1)$

Теперь к выражению в скобках применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$: $n(n^2 - 1) = n(n - 1)(n + 1)$

Расположим множители в порядке возрастания, чтобы получить произведение трех последовательных целых чисел: $(n - 1)n(n + 1)$

Чтобы доказать, что это произведение делится на 6, достаточно показать, что оно делится и на 2, и на 3, так как $6 = 2 \cdot 3$, а числа 2 и 3 являются взаимно простыми.

Доказательство делимости на 2
Произведение $(n - 1)n(n + 1)$ — это произведение трех последовательных чисел. Среди любых двух последовательных чисел одно обязательно является четным (т.е. делится на 2). Следовательно, в нашем произведении как минимум один из множителей делится на 2, а значит, и все произведение делится на 2.

Доказательство делимости на 3
Среди любых трех последовательных целых чисел ровно одно делится на 3. Рассмотрим все возможные случаи для числа $n$:
• Если само число $n$ делится на 3, то и все произведение делится на 3.
• Если число $n$ при делении на 3 дает остаток 1, то множитель $(n-1)$ будет делиться на 3.
• Если число $n$ при делении на 3 дает остаток 2, то множитель $(n+1)$ будет делиться на 3.
Таким образом, в любом случае один из множителей в произведении $(n - 1)n(n + 1)$ кратен 3, а значит, и все произведение делится на 3.

Поскольку выражение $n^3 - n$ одновременно делится на 2 и на 3, оно гарантированно делится на их произведение, то есть на 6. Утверждение доказано.

Ответ: Разность куба натурального числа и самого этого числа равна $(n-1)n(n+1)$, то есть произведению трех последовательных чисел. Такое произведение всегда делится на 2 (так как в нем есть хотя бы одно четное число) и на 3 (так как в нем есть одно число, кратное трем). Следовательно, оно делится на $2 \cdot 3 = 6$.