Номер 1403, страница 263 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения для повторения курса 7 класса - номер 1403, страница 263.

Условие.

1403. Решите уравнение:

1) $(x - 2)(x^2 + 2x + 4) = x^3 + 24x,$

2) $(3 - 2x)(9 + 6x + 4x^2) - 2x(5 - 2x)(5 + 2x) = 7.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) $(x - 2)(x^2 + 2x + 4) = x^3 + 24x$

Левая часть уравнения представляет собой формулу сокращенного умножения "разность кубов": $(a - b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 - b^3$.

В данном случае $a = x$ и $b = 2$. Применим эту формулу:

$(x - 2)(x^2 + 2 \cdot x + 2^2) = x^3 - 2^3 = x^3 - 8$

Теперь подставим это выражение в исходное уравнение:

$x^3 - 8 = x^3 + 24x$

Вычтем $x^3$ из обеих частей уравнения:

$-8 = 24x$

Чтобы найти $x$, разделим обе части на 24:

$x = \frac{-8}{24}$

Сократим дробь:

$x = -\frac{1}{3}$

Ответ: $-\frac{1}{3}$

2) $(3 - 2x)(9 + 6x + 4x^2) - 2x(5 - 2x)(5 + 2x) = 7$

Рассмотрим левую часть уравнения по частям. Первое слагаемое $(3 - 2x)(9 + 6x + 4x^2)$ является формулой "разность кубов", где $a = 3$ и $b = 2x$:

$(3 - 2x)(3^2 + 3 \cdot 2x + (2x)^2) = 3^3 - (2x)^3 = 27 - 8x^3$

Выражение $(5 - 2x)(5 + 2x)$ во втором слагаемом является формулой "разность квадратов": $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$, где $a = 5$ и $b = 2x$:

$(5 - 2x)(5 + 2x) = 5^2 - (2x)^2 = 25 - 4x^2$

Теперь подставим это во второе слагаемое исходного уравнения:

$-2x(25 - 4x^2) = -2x \cdot 25 - 2x \cdot (-4x^2) = -50x + 8x^3$

Теперь соберем все в исходное уравнение:

$(27 - 8x^3) + (-50x + 8x^3) = 7$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$27 - 8x^3 - 50x + 8x^3 = 7$

Слагаемые $-8x^3$ и $8x^3$ взаимно уничтожаются:

$27 - 50x = 7$

Перенесем 27 в правую часть уравнения, изменив знак:

$-50x = 7 - 27$

$-50x = -20$

Найдем $x$, разделив обе части на -50:

$x = \frac{-20}{-50} = \frac{20}{50} = \frac{2}{5} = 0.4$

Ответ: $0.4$