Номер 1408, страница 263 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения для повторения курса 7 класса - номер 1408, страница 263.

Условие.

1408. Представьте в виде произведения четырёх множителей выражение:

1) $a^5 - a^4 - 16a + 16;$

2) $a^{2n}b^{2n} - b^{2n} - a^{2n} + 1$, где $n$ – натуральное число.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) Чтобы представить выражение $a^5 - a^4 - 16a + 16$ в виде произведения, воспользуемся методом группировки слагаемых.
Сгруппируем первое и второе слагаемые, а также третье и четвертое:
$(a^5 - a^4) - (16a - 16)$.
В первой группе вынесем за скобки общий множитель $a^4$, а во второй — $16$:
$a^4(a - 1) - 16(a - 1)$.
Теперь мы видим общий множитель $(a - 1)$, который также можно вынести за скобки:
$(a - 1)(a^4 - 16)$.
Выражение $a^4 - 16$ является разностью квадратов, так как его можно представить в виде $(a^2)^2 - 4^2$. Применим формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$:
$a^4 - 16 = (a^2 - 4)(a^2 + 4)$.
Таким образом, исходное выражение принимает вид:
$(a - 1)(a^2 - 4)(a^2 + 4)$.
Мы получили произведение трех множителей. Однако множитель $a^2 - 4$ также является разностью квадратов: $a^2 - 2^2$. Разложим и его:
$a^2 - 4 = (a - 2)(a + 2)$.
Подставив это разложение, мы получим произведение из четырех множителей:
$(a - 1)(a - 2)(a + 2)(a^2 + 4)$.
Ответ: $(a - 1)(a - 2)(a + 2)(a^2 + 4)$.

2) Чтобы представить выражение $a^{2n}b^{2n} - b^{2n} - a^{2n} + 1$ в виде произведения, также применим метод группировки.
Сгруппируем первое и второе слагаемые, а также третье и четвертое:
$(a^{2n}b^{2n} - b^{2n}) - (a^{2n} - 1)$.
В первой группе вынесем за скобки общий множитель $b^{2n}$:
$b^{2n}(a^{2n} - 1) - 1(a^{2n} - 1)$.
Вынесем общий множитель $(a^{2n} - 1)$ за скобки:
$(a^{2n} - 1)(b^{2n} - 1)$.
Теперь у нас есть произведение двух множителей. Каждый из них можно разложить дальше, так как они представляют собой разность квадратов.
Для первого множителя: $a^{2n} - 1 = (a^n)^2 - 1^2$. Применяем формулу разности квадратов:
$a^{2n} - 1 = (a^n - 1)(a^n + 1)$.
Для второго множителя: $b^{2n} - 1 = (b^n)^2 - 1^2$. Применяем ту же формулу:
$b^{2n} - 1 = (b^n - 1)(b^n + 1)$.
Подставим полученные разложения в выражение $(a^{2n} - 1)(b^{2n} - 1)$:
$(a^n - 1)(a^n + 1)(b^n - 1)(b^n + 1)$.
В результате мы представили исходное выражение в виде произведения четырёх множителей.
Ответ: $(a^n - 1)(a^n + 1)(b^n - 1)(b^n + 1)$.