Номер 1409, страница 264 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения для повторения курса 7 класса - номер 1409, страница 264.

Условие.

1409. Докажите, что значение выражения $17^{10} - 3 \cdot 7^{24} + 3 \cdot 7^{25} + 17^9$ делится нацело:

1) на 18;

2) на 36.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) Для доказательства сперва преобразуем данное выражение. Сгруппируем слагаемые с одинаковыми основаниями степеней:
$17^{10} - 3 \cdot 7^{24} + 3 \cdot 7^{25} + 17^9 = (17^{10} + 17^9) + (3 \cdot 7^{25} - 3 \cdot 7^{24})$
Теперь вынесем общий множитель за скобки в каждой из групп.
В первой группе $(17^{10} + 17^9)$ вынесем $17^9$:
$17^9 \cdot 17^1 + 17^9 \cdot 1 = 17^9(17 + 1) = 18 \cdot 17^9$
Во второй группе $(3 \cdot 7^{25} - 3 \cdot 7^{24})$ вынесем $3 \cdot 7^{24}$:
$3 \cdot 7^{24} \cdot 7^1 - 3 \cdot 7^{24} \cdot 1 = 3 \cdot 7^{24}(7 - 1) = 3 \cdot 7^{24} \cdot 6 = 18 \cdot 7^{24}$
Подставим полученные результаты обратно в выражение:
$18 \cdot 17^9 + 18 \cdot 7^{24}$
Вынесем общий множитель 18 за скобки:
$18(17^9 + 7^{24})$
Поскольку $17^9$ и $7^{24}$ являются целыми числами, их сумма $(17^9 + 7^{24})$ также является целым числом. Следовательно, все выражение является произведением числа 18 на целое число, а значит, оно делится на 18 нацело.
Ответ: Доказано, что значение выражения делится на 18.

2) Из решения первого пункта мы знаем, что исходное выражение можно представить в виде $18(17^9 + 7^{24})$.
Чтобы доказать, что это выражение делится на 36, необходимо показать, что множитель $(17^9 + 7^{24})$ является четным числом, то есть делится на 2. Если это так, то все выражение будет кратно $18 \cdot 2 = 36$.
Рассмотрим четность каждого слагаемого в скобках.
Число 17 является нечетным. Любая натуральная степень нечетного числа — это нечетное число. Таким образом, $17^9$ — нечетное число.
Число 7 является нечетным. Любая натуральная степень нечетного числа — это нечетное число. Таким образом, $7^{24}$ — нечетное число.
Сумма двух нечетных чисел всегда является четным числом. Следовательно, выражение в скобках $(17^9 + 7^{24})$ является четным числом.
Это означает, что $(17^9 + 7^{24})$ можно представить как $2k$, где $k$ — некоторое целое число.
Тогда все выражение можно записать как:
$18 \cdot (17^9 + 7^{24}) = 18 \cdot 2k = 36k$
Так как исходное выражение можно представить в виде $36k$, где $k$ — целое число, это доказывает, что оно делится на 36 нацело.
Ответ: Доказано, что значение выражения делится на 36.