Номер 1415, страница 264 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения для повторения курса 7 класса - номер 1415, страница 264.

Условие.

1415. Докажите, что разность между квадратом натурального числа, не кратного 3, и числом 1 кратна 3.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Пусть $n$ — натуральное число, которое не кратно 3. Это означает, что при делении на 3 число $n$ дает остаток 1 или 2. Требуется доказать, что выражение $n^2 - 1$ кратно 3.

Для доказательства можно использовать два способа.

Способ 1: Рассмотрение остатков от деления на 3

Поскольку число $n$ не делится на 3, оно может быть представлено в одной из двух форм: $n = 3k + 1$ или $n = 3k + 2$, где $k$ — целое неотрицательное число.

Случай 1: $n = 3k + 1$
Подставим это выражение в $n^2 - 1$:
$n^2 - 1 = (3k + 1)^2 - 1 = (9k^2 + 6k + 1) - 1 = 9k^2 + 6k$
Вынесем общий множитель 3 за скобки:
$n^2 - 1 = 3(3k^2 + 2k)$
Так как $k$ — целое число, то выражение в скобках также является целым. Следовательно, $n^2 - 1$ делится на 3.

Случай 2: $n = 3k + 2$
Подставим это выражение в $n^2 - 1$:
$n^2 - 1 = (3k + 2)^2 - 1 = (9k^2 + 12k + 4) - 1 = 9k^2 + 12k + 3$
Вынесем общий множитель 3 за скобки:
$n^2 - 1 = 3(3k^2 + 4k + 1)$
Так как $k$ — целое число, то выражение в скобках также является целым. Следовательно, $n^2 - 1$ делится на 3.

В обоих возможных случаях разность $n^2 - 1$ кратна 3, что и требовалось доказать.

Способ 2: Использование формулы разности квадратов

Рассмотрим выражение $n^2 - 1$. Используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, получаем:
$n^2 - 1 = (n - 1)(n + 1)$
Числа $(n - 1)$, $n$, $(n + 1)$ являются тремя последовательными натуральными числами. Известно, что в любой тройке последовательных чисел одно из них обязательно делится на 3.
По условию задачи, число $n$ не кратно 3. Значит, на 3 должно делиться либо число $(n - 1)$, либо число $(n + 1)$.
Если один из множителей в произведении $(n - 1)(n + 1)$ делится на 3, то и всё произведение делится на 3.
Следовательно, $n^2 - 1$ кратно 3, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Разность между квадратом натурального числа $n$, не кратного 3, и числом 1 всегда кратна 3. Это следует из того, что выражение $n^2 - 1$ можно разложить на множители $(n-1)(n+1)$. Так как $n$ не делится на 3, а одно из трёх последовательных чисел $(n-1), n, (n+1)$ должно делиться на 3, то на 3 делится либо $(n-1)$, либо $(n+1)$. Следовательно, их произведение $(n^2 - 1)$ всегда кратно 3.