Страница 264 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

1409. Докажите, что значение выражения $17^{10} - 3 \cdot 7^{24} + 3 \cdot 7^{25} + 17^9$ делится нацело:

1) на 18;

2) на 36.

1) Для доказательства сперва преобразуем данное выражение. Сгруппируем слагаемые с одинаковыми основаниями степеней:
$17^{10} - 3 \cdot 7^{24} + 3 \cdot 7^{25} + 17^9 = (17^{10} + 17^9) + (3 \cdot 7^{25} - 3 \cdot 7^{24})$
Теперь вынесем общий множитель за скобки в каждой из групп.
В первой группе $(17^{10} + 17^9)$ вынесем $17^9$:
$17^9 \cdot 17^1 + 17^9 \cdot 1 = 17^9(17 + 1) = 18 \cdot 17^9$
Во второй группе $(3 \cdot 7^{25} - 3 \cdot 7^{24})$ вынесем $3 \cdot 7^{24}$:
$3 \cdot 7^{24} \cdot 7^1 - 3 \cdot 7^{24} \cdot 1 = 3 \cdot 7^{24}(7 - 1) = 3 \cdot 7^{24} \cdot 6 = 18 \cdot 7^{24}$
Подставим полученные результаты обратно в выражение:
$18 \cdot 17^9 + 18 \cdot 7^{24}$
Вынесем общий множитель 18 за скобки:
$18(17^9 + 7^{24})$
Поскольку $17^9$ и $7^{24}$ являются целыми числами, их сумма $(17^9 + 7^{24})$ также является целым числом. Следовательно, все выражение является произведением числа 18 на целое число, а значит, оно делится на 18 нацело.
Ответ: Доказано, что значение выражения делится на 18.

2) Из решения первого пункта мы знаем, что исходное выражение можно представить в виде $18(17^9 + 7^{24})$.
Чтобы доказать, что это выражение делится на 36, необходимо показать, что множитель $(17^9 + 7^{24})$ является четным числом, то есть делится на 2. Если это так, то все выражение будет кратно $18 \cdot 2 = 36$.
Рассмотрим четность каждого слагаемого в скобках.
Число 17 является нечетным. Любая натуральная степень нечетного числа — это нечетное число. Таким образом, $17^9$ — нечетное число.
Число 7 является нечетным. Любая натуральная степень нечетного числа — это нечетное число. Таким образом, $7^{24}$ — нечетное число.
Сумма двух нечетных чисел всегда является четным числом. Следовательно, выражение в скобках $(17^9 + 7^{24})$ является четным числом.
Это означает, что $(17^9 + 7^{24})$ можно представить как $2k$, где $k$ — некоторое целое число.
Тогда все выражение можно записать как:
$18 \cdot (17^9 + 7^{24}) = 18 \cdot 2k = 36k$
Так как исходное выражение можно представить в виде $36k$, где $k$ — целое число, это доказывает, что оно делится на 36 нацело.
Ответ: Доказано, что значение выражения делится на 36.

1410. Докажите, что разность куба натурального числа и самого этого числа делится нацело на 6.

Пусть $n$ — произвольное натуральное число. Требуется доказать, что разность куба этого числа и самого числа, то есть выражение $n^3 - n$, делится нацело на 6.

Для начала преобразуем данное выражение, разложив его на множители. Сначала вынесем общий множитель $n$ за скобки: $n^3 - n = n(n^2 - 1)$

Теперь к выражению в скобках применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$: $n(n^2 - 1) = n(n - 1)(n + 1)$

Расположим множители в порядке возрастания, чтобы получить произведение трех последовательных целых чисел: $(n - 1)n(n + 1)$

Чтобы доказать, что это произведение делится на 6, достаточно показать, что оно делится и на 2, и на 3, так как $6 = 2 \cdot 3$, а числа 2 и 3 являются взаимно простыми.

Доказательство делимости на 2
Произведение $(n - 1)n(n + 1)$ — это произведение трех последовательных чисел. Среди любых двух последовательных чисел одно обязательно является четным (т.е. делится на 2). Следовательно, в нашем произведении как минимум один из множителей делится на 2, а значит, и все произведение делится на 2.

Доказательство делимости на 3
Среди любых трех последовательных целых чисел ровно одно делится на 3. Рассмотрим все возможные случаи для числа $n$:
• Если само число $n$ делится на 3, то и все произведение делится на 3.
• Если число $n$ при делении на 3 дает остаток 1, то множитель $(n-1)$ будет делиться на 3.
• Если число $n$ при делении на 3 дает остаток 2, то множитель $(n+1)$ будет делиться на 3.
Таким образом, в любом случае один из множителей в произведении $(n - 1)n(n + 1)$ кратен 3, а значит, и все произведение делится на 3.

Поскольку выражение $n^3 - n$ одновременно делится на 2 и на 3, оно гарантированно делится на их произведение, то есть на 6. Утверждение доказано.

Ответ: Разность куба натурального числа и самого этого числа равна $(n-1)n(n+1)$, то есть произведению трех последовательных чисел. Такое произведение всегда делится на 2 (так как в нем есть хотя бы одно четное число) и на 3 (так как в нем есть одно число, кратное трем). Следовательно, оно делится на $2 \cdot 3 = 6$.

1411. Докажите, что сумма произведения трёх последовательных натуральных чисел и среднего из этих чисел равна кубу среднего числа.

Для доказательства этого утверждения введем переменные. Пусть среднее из трёх последовательных натуральных чисел равно $n$. Тогда первое (меньшее) число будет $n-1$, а третье (большее) — $n+1$. Поскольку все три числа должны быть натуральными, наименьшее из них, $n-1$, должно быть не меньше 1. Это означает, что $n \ge 2$, где $n$ — натуральное число.

Теперь переведем условие задачи на язык математики. Нам нужно доказать, что сумма произведения этих трёх чисел и среднего из них равна кубу среднего числа.

• Произведение трёх последовательных чисел: $(n-1) \cdot n \cdot (n+1)$.
• Среднее из этих чисел: $n$.
• Сумма произведения и среднего числа: $(n-1) \cdot n \cdot (n+1) + n$.
• Куб среднего числа: $n^3$.

Таким образом, мы должны доказать следующее тождество: $(n-1)n(n+1) + n = n^3$.

Преобразуем левую часть этого равенства. Для удобства сгруппируем первый и третий множители и применим к ним формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$: $(n-1)(n+1) = n^2 - 1^2 = n^2 - 1$.

Теперь подставим это выражение обратно в левую часть исходного тождества: $n \cdot (n^2 - 1) + n$.

Раскроем скобки, умножив $n$ на каждый член двучлена: $n \cdot n^2 - n \cdot 1 + n = n^3 - n + n$.

В полученном выражении слагаемые $-n$ и $+n$ являются противоположными, и их сумма равна нулю. Таким образом, они взаимно уничтожаются: $n^3 - n + n = n^3$.

В результате преобразований мы получили, что левая часть равенства $n^3$ тождественно равна правой части $n^3$. Это доказывает истинность исходного утверждения для любого натурального $n \ge 2$.

Ответ: Утверждение доказано. Алгебраические преобразования показывают, что выражение $(n-1)n(n+1) + n$ тождественно равно $n^3$: $(n-1)n(n+1) + n = n(n^2-1) + n = n^3-n+n=n^3$.

1412. Пусть $x + y = a$, $xy = b$. Докажите, что:

1) $x^2 + y^2 = a^2 - 2b$

2) $x^3 + y^3 = a^3 - 3ab$

3) $x^4 + y^4 = a^4 - 4a^2b + 2b^2$

1)

Для доказательства воспользуемся известной формулой квадрата суммы: $(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.
Из этой формулы выразим сумму квадратов $x^2 + y^2$:
$x^2 + y^2 = (x + y)^2 - 2xy$.
По условию задачи дано, что $x + y = a$ и $xy = b$. Подставим эти значения в полученное выражение:
$x^2 + y^2 = a^2 - 2b$, что и требовалось доказать.

Ответ: $x^2 + y^2 = a^2 - 2b$.

2)

Воспользуемся формулой куба суммы: $(x + y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3$.
Сгруппируем слагаемые и вынесем за скобки общий множитель $3xy$:
$(x + y)^3 = (x^3 + y^3) + 3xy(x + y)$.
Выразим из этого равенства сумму кубов $x^3 + y^3$:
$x^3 + y^3 = (x + y)^3 - 3xy(x + y)$.
Подставим известные по условию значения $x + y = a$ и $xy = b$:
$x^3 + y^3 = a^3 - 3b \cdot a = a^3 - 3ab$, что и требовалось доказать.

Ответ: $x^3 + y^3 = a^3 - 3ab$.

3)

Чтобы доказать третье тождество, представим $x^4 + y^4$ в виде суммы квадратов: $x^4 + y^4 = (x^2)^2 + (y^2)^2$.
Теперь мы можем применить формулу для суммы квадратов, которую вывели в первом пункте, подставив в нее $x^2$ вместо $x$ и $y^2$ вместо $y$:
$x^4 + y^4 = (x^2 + y^2)^2 - 2x^2y^2 = (x^2 + y^2)^2 - 2(xy)^2$.
Из доказательства в пункте 1) мы знаем, что $x^2 + y^2 = a^2 - 2b$. По условию задачи $xy = b$. Подставим эти выражения в нашу формулу:
$x^4 + y^4 = (a^2 - 2b)^2 - 2(b)^2$.
Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(m-n)^2 = m^2 - 2mn + n^2$:
$x^4 + y^4 = ((a^2)^2 - 2 \cdot a^2 \cdot (2b) + (2b)^2) - 2b^2 = (a^4 - 4a^2b + 4b^2) - 2b^2$.
Приведем подобные слагаемые и получим окончательный результат:
$x^4 + y^4 = a^4 - 4a^2b + 2b^2$, что и требовалось доказать.

Ответ: $x^4 + y^4 = a^4 - 4a^2b + 2b^2$.

1413. Докажите, что при любом натуральном значении $n$ значение выражения $n(n+1)(n+2)(n+3)+1$ равно квадрату некоторого натурального числа.

Для доказательства преобразуем данное выражение. Обозначим его за $A$.

$A = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1$

Сгруппируем множители следующим образом: перемножим первый с четвертым и второй с третьим.

$A = [n(n + 3)] \cdot [(n + 1)(n + 2)] + 1$

Раскроем скобки внутри каждой группы:

$n(n + 3) = n^2 + 3n$

$(n + 1)(n + 2) = n^2 + 2n + n + 2 = n^2 + 3n + 2$

Теперь подставим полученные выражения обратно в $A$:

$A = (n^2 + 3n)(n^2 + 3n + 2) + 1$

Для упрощения дальнейших вычислений введем замену. Пусть $t = n^2 + 3n$. Тогда выражение $A$ примет вид:

$A = t(t + 2) + 1$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$A = t^2 + 2t + 1$

Полученное выражение является формулой квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. В нашем случае $a=t$ и $b=1$.

$A = (t + 1)^2$

Теперь выполним обратную замену, подставив $t = n^2 + 3n$:

$A = (n^2 + 3n + 1)^2$

Мы показали, что исходное выражение равно квадрату выражения $n^2 + 3n + 1$.

По условию задачи, $n$ — натуральное число, то есть $n \in \{1, 2, 3, ...\}$. Проверим, является ли выражение $n^2 + 3n + 1$ натуральным числом.
Если $n$ — натуральное число, то $n^2$ — натуральное число, и $3n$ — также натуральное число. Сумма двух натуральных чисел $n^2 + 3n$ является натуральным числом. Прибавление 1 к натуральному числу также дает натуральное число.
Следовательно, $n^2 + 3n + 1$ является натуральным числом при любом натуральном $n$.

Таким образом, мы доказали, что значение выражения $n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1$ при любом натуральном $n$ равно квадрату натурального числа $n^2 + 3n + 1$.

Ответ: Выражение $n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1$ тождественно равно $(n^2 + 3n + 1)^2$. Так как $n$ — натуральное число, то $n^2 + 3n + 1$ также является натуральным числом. Следовательно, исходное выражение при любом натуральном $n$ равно квадрату некоторого натурального числа, что и требовалось доказать.

1414. Докажите, что при любом натуральном значении $n$ значение выражения $n(n + 2)(n + 4)(n + 6) + 16$ равно квадрату некоторого натурального числа.

Для доказательства того, что выражение $n(n + 2)(n + 4)(n + 6) + 16$ является квадратом натурального числа при любом натуральном $n$, выполним алгебраические преобразования.

Сначала сгруппируем множители в выражении. Удобнее всего перемножить первый множитель с последним, а второй с третьим. Это позволит нам получить похожие выражения.

$n(n + 2)(n + 4)(n + 6) + 16 = [n(n + 6)] \cdot [(n + 2)(n + 4)] + 16$

Теперь выполним умножение в каждой из пар скобок:

$n(n + 6) = n^2 + 6n$

$(n + 2)(n + 4) = n^2 + 4n + 2n + 8 = n^2 + 6n + 8$

Подставим результаты обратно в исходное выражение:

$(n^2 + 6n)(n^2 + 6n + 8) + 16$

Для упрощения введем замену переменной. Пусть $x = n^2 + 6n$. Тогда выражение примет вид:

$x(x + 8) + 16$

Раскроем скобки:

$x^2 + 8x + 16$

Полученный трёхчлен является полным квадратом, так как соответствует формуле квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. В нашем случае $a=x$ и $b=4$:

$x^2 + 2 \cdot x \cdot 4 + 4^2 = (x + 4)^2$

Теперь выполним обратную замену, подставив $n^2 + 6n$ вместо $x$:

$(x + 4)^2 = (n^2 + 6n + 4)^2$

Мы показали, что исходное выражение равно $(n^2 + 6n + 4)^2$.

По условию задачи $n$ является натуральным числом, то есть $n \ge 1$. Это означает, что выражение $n^2 + 6n + 4$ также будет натуральным числом, поскольку оно является суммой натуральных чисел (или их степеней) и положительного числа 4. Например, при наименьшем натуральном $n=1$ получаем $1^2 + 6 \cdot 1 + 4 = 11$, что является натуральным числом.

Таким образом, при любом натуральном $n$ значение выражения $n(n + 2)(n + 4)(n + 6) + 16$ равно квадрату натурального числа $n^2 + 6n + 4$, что и требовалось доказать.

Ответ: данное выражение можно представить в виде $(n^2 + 6n + 4)^2$. Поскольку $n$ — натуральное число, то и $n^2 + 6n + 4$ является натуральным числом. Следовательно, исходное выражение всегда равно квадрату некоторого натурального числа.

1415. Докажите, что разность между квадратом натурального числа, не кратного 3, и числом 1 кратна 3.

Пусть $n$ — натуральное число, которое не кратно 3. Это означает, что при делении на 3 число $n$ дает остаток 1 или 2. Требуется доказать, что выражение $n^2 - 1$ кратно 3.

Для доказательства можно использовать два способа.

Способ 1: Рассмотрение остатков от деления на 3

Поскольку число $n$ не делится на 3, оно может быть представлено в одной из двух форм: $n = 3k + 1$ или $n = 3k + 2$, где $k$ — целое неотрицательное число.

Случай 1: $n = 3k + 1$
Подставим это выражение в $n^2 - 1$:
$n^2 - 1 = (3k + 1)^2 - 1 = (9k^2 + 6k + 1) - 1 = 9k^2 + 6k$
Вынесем общий множитель 3 за скобки:
$n^2 - 1 = 3(3k^2 + 2k)$
Так как $k$ — целое число, то выражение в скобках также является целым. Следовательно, $n^2 - 1$ делится на 3.

Случай 2: $n = 3k + 2$
Подставим это выражение в $n^2 - 1$:
$n^2 - 1 = (3k + 2)^2 - 1 = (9k^2 + 12k + 4) - 1 = 9k^2 + 12k + 3$
Вынесем общий множитель 3 за скобки:
$n^2 - 1 = 3(3k^2 + 4k + 1)$
Так как $k$ — целое число, то выражение в скобках также является целым. Следовательно, $n^2 - 1$ делится на 3.

В обоих возможных случаях разность $n^2 - 1$ кратна 3, что и требовалось доказать.

Способ 2: Использование формулы разности квадратов

Рассмотрим выражение $n^2 - 1$. Используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, получаем:
$n^2 - 1 = (n - 1)(n + 1)$
Числа $(n - 1)$, $n$, $(n + 1)$ являются тремя последовательными натуральными числами. Известно, что в любой тройке последовательных чисел одно из них обязательно делится на 3.
По условию задачи, число $n$ не кратно 3. Значит, на 3 должно делиться либо число $(n - 1)$, либо число $(n + 1)$.
Если один из множителей в произведении $(n - 1)(n + 1)$ делится на 3, то и всё произведение делится на 3.
Следовательно, $n^2 - 1$ кратно 3, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Разность между квадратом натурального числа $n$, не кратного 3, и числом 1 всегда кратна 3. Это следует из того, что выражение $n^2 - 1$ можно разложить на множители $(n-1)(n+1)$. Так как $n$ не делится на 3, а одно из трёх последовательных чисел $(n-1), n, (n+1)$ должно делиться на 3, то на 3 делится либо $(n-1)$, либо $(n+1)$. Следовательно, их произведение $(n^2 - 1)$ всегда кратно 3.

1416. Докажите, что при любом натуральном значении n, не кратном 5, значение выражения $n^4 - 1$ делится нацело на 5.

Чтобы доказать данное утверждение, можно воспользоваться несколькими методами.

По условию, натуральное число n не кратно 5. Это означает, что при делении числа n на 5 могут получаться остатки 1, 2, 3 или 4. Рассмотрим каждый из этих возможных случаев.

• Случай 1. Остаток от деления n на 5 равен 1.
  В этом случае последняя цифра числа n — это 1 или 6. Тогда последняя цифра числа $n^4$ будет $1$ (например, $1^4=1$, $6^4=1296$, $11^4$ оканчивается на 1). Следовательно, выражение $n^4-1$ оканчивается на $1-1=0$, а значит, делится на 5.
• Случай 2. Остаток от деления n на 5 равен 2.
  В этом случае последняя цифра числа n — это 2 или 7. Тогда последняя цифра числа $n^4$ будет $6$ (для 2) или $1$ (для 7), так как $2^4=16$ и $7^4=2401$. В обоих случаях $n^4$ при делении на 5 дает остаток 1. Следовательно, $n^4-1$ будет делиться на 5.
• Случай 3. Остаток от деления n на 5 равен 3.
  В этом случае последняя цифра числа n — это 3 или 8. Тогда последняя цифра числа $n^4$ будет $1$ (для 3) или $6$ (для 8), так как $3^4=81$ и $8^4=4096$. В обоих случаях $n^4$ при делении на 5 дает остаток 1. Следовательно, $n^4-1$ будет делиться на 5.
• Случай 4. Остаток от деления n на 5 равен 4.
  В этом случае последняя цифра числа n — это 4 или 9. Тогда последняя цифра числа $n^4$ будет $6$ (для 4) или $1$ (для 9), так как $4^4=256$ и $9^4=6561$. В обоих случаях $n^4$ при делении на 5 дает остаток 1. Следовательно, $n^4-1$ будет делиться на 5.

Мы рассмотрели все возможные случаи для натурального n, не кратного 5, и в каждом из них показали, что значение выражения $n^4-1$ делится на 5. Утверждение доказано.

Ответ: Утверждение доказано.

Разложим данное выражение $n^4-1$ на множители, используя формулу разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$:

$n^4 - 1 = (n^2)^2 - 1^2 = (n^2 - 1)(n^2 + 1)$

Применим формулу разности квадратов еще раз к первому множителю:

$(n - 1)(n + 1)(n^2 + 1)$

Проведем следующее преобразование со вторым множителем: $n^2 + 1 = n^2 - 4 + 5$.

Тогда выражение примет вид:

$(n - 1)(n + 1)(n^2 - 4 + 5) = (n - 1)(n + 1)(n^2 - 4) + 5(n - 1)(n + 1)$

Разложим множитель $(n^2 - 4)$ на множители:

$(n - 1)(n + 1)(n - 2)(n + 2) + 5(n^2 - 1)$

Перегруппируем множители в первом слагаемом, чтобы получить произведение последовательных чисел:

$(n - 2)(n - 1)(n + 1)(n + 2) + 5(n^2 - 1)$

Теперь проанализируем полученную сумму:

1. Второе слагаемое $5(n^2-1)$ очевидно делится на 5, так как содержит множитель 5.
2. Первое слагаемое представляет собой произведение четырех целых чисел, окружающих n. Рассмотрим пять последовательных целых чисел: $(n-2), (n-1), n, (n+1), (n+2)$. Среди любых пяти последовательных чисел одно обязательно делится на 5. По условию, n на 5 не делится. Значит, на 5 должно делиться одно из чисел: $(n-2), (n-1), (n+1)$ или $(n+2)$. Следовательно, их произведение $(n - 2)(n - 1)(n + 1)(n + 2)$ делится на 5.

Так как оба слагаемых суммы делятся на 5, то и вся сумма делится на 5. А эта сумма равна исходному выражению $n^4-1$.

Ответ: Утверждение доказано.

Малая теорема Ферма утверждает, что если p — простое число, то для любого целого числа a, не делящегося на p, выполняется сравнение $a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}$.

В нашей задаче $p = 5$, что является простым числом. По условию, натуральное число n не делится на 5. Таким образом, все условия Малой теоремы Ферма выполнены.

Применяя теорему для $a=n$ и $p=5$, получаем:

$n^{5-1} \equiv 1 \pmod{5}$

$n^4 \equiv 1 \pmod{5}$

Это сравнение означает, что $n^4$ дает остаток 1 при делении на 5, то есть разность $n^4 - 1$ делится на 5 нацело.

Ответ: Утверждение доказано.

1417. Можно ли утверждать, что значение выражения $n^3 + 2n$ делится нацело на 3 при любом натуральном значении $n$?

Да, можно утверждать, что значение выражения $n^3 + 2n$ делится нацело на 3 при любом натуральном значении $n$. Это можно доказать несколькими способами.

Способ 1: Алгебраическое преобразование

Преобразуем исходное выражение. Представим $2n$ как $3n - n$:

$n^3 + 2n = n^3 - n + 3n$

Выражение $3n$ очевидно делится на 3 при любом натуральном $n$, так как содержит множитель 3.

Рассмотрим выражение $n^3 - n$. Вынесем $n$ за скобки и применим формулу разности квадратов:

$n^3 - n = n(n^2 - 1) = n(n-1)(n+1)$

Переставив множители, получим $(n-1)n(n+1)$. Это произведение трех последовательных натуральных чисел. Среди любых трех последовательных чисел одно обязательно делится на 3. Следовательно, их произведение $(n-1)n(n+1)$ всегда делится на 3.

Так как оба слагаемых в сумме $(n^3 - n) + 3n$ делятся на 3, то и вся сумма, равная $n^3 + 2n$, делится на 3.

Способ 2: Метод математической индукции

1. База индукции: Проверим утверждение для $n=1$.

$1^3 + 2 \cdot 1 = 1 + 2 = 3$. Число 3 делится на 3. Утверждение верно для $n=1$.

2. Индукционное предположение: Предположим, что утверждение верно для некоторого натурального числа $k$, то есть $k^3 + 2k$ делится на 3.

3. Индукционный шаг: Докажем, что утверждение верно для $n = k+1$, то есть что выражение $(k+1)^3 + 2(k+1)$ делится на 3.

Раскроем скобки и преобразуем выражение:

$(k+1)^3 + 2(k+1) = (k^3 + 3k^2 + 3k + 1) + (2k + 2) = k^3 + 3k^2 + 5k + 3$

Сгруппируем слагаемые, чтобы использовать индукционное предположение:

$(k^3 + 2k) + 3k^2 + 3k + 3 = (k^3 + 2k) + 3(k^2 + k + 1)$

Первое слагаемое, $(k^3 + 2k)$, делится на 3 по нашему предположению. Второе слагаемое, $3(k^2 + k + 1)$, также делится на 3, так как содержит множитель 3. Сумма двух чисел, делящихся на 3, также делится на 3. Следовательно, $(k+1)^3 + 2(k+1)$ делится на 3.

По принципу математической индукции, утверждение доказано для всех натуральных $n$.

Способ 3: Рассмотрение остатков от деления на 3

Любое натуральное число $n$ при делении на 3 может давать один из трех остатков: 0, 1 или 2. Рассмотрим каждый случай.

1. $n$ делится на 3. То есть $n = 3k$, где $k$ — натуральное число.

$(3k)^3 + 2(3k) = 27k^3 + 6k = 3(9k^3 + 2k)$. Выражение делится на 3.

2. $n$ дает остаток 1 при делении на 3. То есть $n = 3k+1$, где $k$ — целое неотрицательное число. В этом случае $n \equiv 1 \pmod{3}$. Тогда:

$n^3 + 2n \equiv 1^3 + 2(1) \pmod{3} \equiv 1 + 2 \pmod{3} \equiv 3 \pmod{3} \equiv 0 \pmod{3}$.

Значит, выражение делится на 3.

3. $n$ дает остаток 2 при делении на 3. То есть $n = 3k+2$, где $k$ — целое неотрицательное число. В этом случае $n \equiv 2 \pmod{3}$. Тогда:

$n^3 + 2n \equiv 2^3 + 2(2) \pmod{3} \equiv 8 + 4 \pmod{3} \equiv 12 \pmod{3} \equiv 0 \pmod{3}$.

Значит, выражение делится на 3.

Поскольку выражение делится на 3 во всех возможных случаях, оно делится на 3 при любом натуральном $n$.

Ответ: Да, можно утверждать.

1418. Докажите, что при любом натуральном значении $n$ значение выражения $n^7 - n$ кратно 42.

Чтобы доказать, что выражение $n^7 - n$ кратно 42 при любом натуральном $n$, нужно показать, что оно делится на 2, 3 и 7, поскольку $42 = 2 \cdot 3 \cdot 7$, а эти числа являются взаимно простыми.

Для начала разложим данное выражение на множители:

$n^7 - n = n(n^6 - 1) = n(n^2 - 1)(n^4 + n^2 + 1) = n(n-1)(n+1)(n^4 + n^2 + 1)$.

Множители $(n-1)$, $n$ и $(n+1)$ представляют собой произведение трех последовательных натуральных чисел. Среди любых трех последовательных чисел всегда есть хотя бы одно четное (делящееся на 2) и ровно одно число, делящееся на 3. Так как числа 2 и 3 взаимно просты, то их произведение $(n-1)n(n+1)$ всегда делится на $2 \cdot 3 = 6$. Следовательно, и все выражение $n^7-n$, содержащее это произведение, делится на 6.

Теперь докажем делимость на 7. Согласно Малой теореме Ферма, если $p$ — простое число, то для любого целого числа $n$ выражение $n^p - n$ делится на $p$. В нашем случае $p = 7$, которое является простым числом. Следовательно, выражение $n^7 - n$ всегда делится на 7 при любом натуральном $n$.

Можно доказать делимость на 7 и другим способом, рассмотрев все возможные остатки от деления $n$ на 7. Используем другую факторизацию: $n^7 - n = n(n^3 - 1)(n^3 + 1)$.

Если $n$ делится на 7, то и все выражение делится на 7. Рассмотрим случаи, когда $n$ не делится на 7:

1. Если $n$ при делении на 7 дает в остатке 1, 2 или 4, то $n^3$ при делении на 7 дает в остатке 1 (например, $2^3 = 8 \equiv 1 \pmod{7}$; $4^3 = 64 \equiv 1 \pmod{7}$). В этом случае множитель $(n^3 - 1)$ будет делиться на 7.

2. Если $n$ при делении на 7 дает в остатке 3, 5 или 6, то $n^3$ при делении на 7 дает в остатке 6 (или -1) (например, $3^3 = 27 \equiv -1 \pmod{7}$; $5^3 = 125 \equiv -1 \pmod{7}$). В этом случае множитель $(n^3 + 1)$ будет делиться на 7.

Таким образом, при любом натуральном $n$ один из множителей выражения $n(n^3-1)(n^3+1)$ обязательно делится на 7, а значит, и все выражение делится на 7.

Поскольку выражение $n^7 - n$ делится и на 6, и на 7, а числа 6 и 7 взаимно просты, то оно делится на их произведение $6 \cdot 7 = 42$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение, что при любом натуральном значении $n$ значение выражения $n^7-n$ кратно 42, доказано.

1419. Даны функции $f(x) = x^2 - 2x$ и $g(x) = \frac{x-2}{x}$. Сравните:

1) $f(2)$ и $g(-1)$;

2) $f(0)$ и $g(2)$;

3) $f(1)$ и $g(1).

Даны функции $f(x) = x^2 - 2x$ и $g(x) = \frac{x-2}{x}$. Для сравнения значений функций в указанных точках, необходимо подставить соответствующие значения аргумента $x$ в формулы функций и вычислить их значения.

1) f(2) и g(-1);

Сначала найдем значение функции $f(x)$ в точке $x=2$:
$f(2) = 2^2 - 2 \cdot 2 = 4 - 4 = 0$.
Теперь найдем значение функции $g(x)$ в точке $x=-1$:
$g(-1) = \frac{-1-2}{-1} = \frac{-3}{-1} = 3$.
Сравним полученные результаты: $0 < 3$.
Следовательно, $f(2) < g(-1)$.
Ответ: $f(2) < g(-1)$.

2) f(0) и g(2);

Найдем значение функции $f(x)$ в точке $x=0$:
$f(0) = 0^2 - 2 \cdot 0 = 0 - 0 = 0$.
Найдем значение функции $g(x)$ в точке $x=2$:
$g(2) = \frac{2-2}{2} = \frac{0}{2} = 0$.
Сравним полученные результаты: $0 = 0$.
Следовательно, $f(0) = g(2)$.
Ответ: $f(0) = g(2)$.

3) f(1) и g(1).

Найдем значение функции $f(x)$ в точке $x=1$:
$f(1) = 1^2 - 2 \cdot 1 = 1 - 2 = -1$.
Найдем значение функции $g(x)$ в точке $x=1$:
$g(1) = \frac{1-2}{1} = \frac{-1}{1} = -1$.
Сравним полученные результаты: $-1 = -1$.
Следовательно, $f(1) = g(1)$.
Ответ: $f(1) = g(1)$.

1420. Функция задана таблично.

x: 5, 3, 1, -1, -3

y: 3, 1, -1, -3, -5

Задайте эту функцию описательно и формулой.

Описательное задание функции

Проанализируем данные, представленные в таблице. Для каждой пары значений (x, y) найдем разность $x - y$:
$5 - 3 = 2$
$3 - 1 = 2$
$1 - (-1) = 2$
$-1 - (-3) = 2$
$-3 - (-5) = 2$
Во всех случаях разность между значением аргумента x и значением функции y равна 2. Это означает, что значение функции всегда на 2 меньше значения аргумента.

Ответ: Каждому значению аргумента x ставится в соответствие значение функции y, которое на 2 меньше, чем значение x.

Задание функции формулой

Будем искать зависимость в виде линейной функции $y = kx + b$, так как при изменении x на 2, y также изменяется на 2, что указывает на линейную зависимость с коэффициентом $k=1$.
Возьмем любую пару значений из таблицы, например, (5; 3), и подставим в общую формулу $y = kx + b$:
$3 = 5k + b$
Возьмем другую пару, например, (3; 1):
$1 = 3k + b$
Составим и решим систему уравнений:
$\begin{cases} 5k + b = 3 \\ 3k + b = 1 \end{cases}$
Вычтем из первого уравнения второе: $(5k+b) - (3k+b) = 3 - 1$, что дает $2k = 2$, откуда $k = 1$.
Подставим $k=1$ в любое из уравнений, например, во второе: $3(1) + b = 1$, откуда $3 + b = 1$ и $b = -2$.
Таким образом, формула функции имеет вид $y = 1 \cdot x - 2$, или $y = x - 2$.
Проверим эту формулу для остальных точек: - для (1; -1): $-1 = 1 - 2$ (верно) - для (-1; -3): $-3 = -1 - 2$ (верно) - для (-3; -5): $-5 = -3 - 2$ (верно)
Формула верна для всех значений из таблицы.

Ответ: $y = x - 2$