Страница 262 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

1381. При каких значениях a, b, c и d выполняется равенство $\overline{ab} \cdot \overline{cd} = \overline{ad} \cdot \overline{cb}$?

В данной задаче обозначение $\overline{xy}$ соответствует двузначному числу, значение которого равно $10x + y$. Переменные $a, b, c, d$ являются цифрами. Поскольку $a$ и $c$ стоят на месте десятков, они не могут быть равны нулю. Таким образом, $a, c$ могут принимать значения от 1 до 9, а $b, d$ — от 0 до 9.

Перепишем исходное равенство $\overline{ab} \cdot \overline{cd} = \overline{ad} \cdot \overline{cb}$ в алгебраической форме, представив каждое число в виде суммы разрядных слагаемых:

$(10a + b)(10c + d) = (10a + d)(10c + b)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$100ac + 10ad + 10bc + bd = 100ac + 10ab + 10cd + bd$

Вычтем из обеих частей одинаковые слагаемые $100ac$ и $bd$:

$10ad + 10bc = 10ab + 10cd$

Разделим обе части уравнения на 10:

$ad + bc = ab + cd$

Перенесем все члены в левую часть и сгруппируем их для дальнейшего упрощения:

$ad - ab - cd + bc = 0$

Теперь выполним факторизацию, вынося общие множители за скобки:

$a(d - b) - c(d - b) = 0$

Вынесем за скобки общий множитель $(d - b)$:

$(a - c)(d - b) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из сомножителей равен нулю. Это приводит к двум возможным условиям:

1. $a - c = 0$, то есть $a = c$.
2. $d - b = 0$, то есть $d = b$.

Таким образом, исходное равенство будет верным, если выполняется хотя бы одно из этих условий: либо первые цифры чисел ($\overline{ab}$ и $\overline{cd}$) совпадают, либо вторые цифры ($\overline{ab}$ и $\overline{cd}$) совпадают.

Ответ: Равенство выполняется при условии, что либо $a = c$, либо $b = d$ (или оба условия одновременно), с учётом того, что $a$ и $c$ — это цифры от 1 до 9, а $b$ и $d$ — это цифры от 0 до 9.

1382. Упростите выражение:

1) $6x^2 + (2y - 3x)(2y + 3x);$

2) $(a + 2)(a - 3) - (4 - a)(a + 4);$

3) $(5 - 2x)(5 + 2x) - (3 - 2x)(4 - 2x);$

4) $(2ab + 1)(2ab - 1)(16a^4b^4 + 1)(4a^2b^2 + 1).$

1) Для упрощения выражения $6x^2 + (2y - 3x)(2y + 3x)$ воспользуемся формулой разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.

В данном случае $a = 2y$ и $b = 3x$.

$(2y - 3x)(2y + 3x) = (2y)^2 - (3x)^2 = 4y^2 - 9x^2$.

Теперь подставим полученное выражение обратно в исходное:

$6x^2 + (4y^2 - 9x^2) = 6x^2 + 4y^2 - 9x^2$.

Приведем подобные слагаемые:

$4y^2 + (6x^2 - 9x^2) = 4y^2 - 3x^2$.

Ответ: $4y^2 - 3x^2$.

2) Упростим выражение $(a + 2)(a - 3) - (4 - a)(a + 4)$.

Сначала раскроем скобки в первой части выражения, перемножив многочлены:

$(a + 2)(a - 3) = a \cdot a + a \cdot (-3) + 2 \cdot a + 2 \cdot (-3) = a^2 - 3a + 2a - 6 = a^2 - a - 6$.

Теперь раскроем скобки во второй части. Заметим, что $(4 - a)(a + 4)$ можно записать как $(4 - a)(4 + a)$, что является формулой разности квадратов:

$(4 - a)(4 + a) = 4^2 - a^2 = 16 - a^2$.

Подставим полученные выражения в исходное:

$(a^2 - a - 6) - (16 - a^2) = a^2 - a - 6 - 16 + a^2$.

Приведем подобные слагаемые:

$(a^2 + a^2) - a - (6 + 16) = 2a^2 - a - 22$.

Ответ: $2a^2 - a - 22$.

3) Упростим выражение $(5 - 2x)(5 + 2x) - (3 - 2x)(4 - 2x)$.

Первая часть $(5 - 2x)(5 + 2x)$ является разностью квадратов:

$(5 - 2x)(5 + 2x) = 5^2 - (2x)^2 = 25 - 4x^2$.

Раскроем скобки во второй части выражения, перемножив многочлены:

$(3 - 2x)(4 - 2x) = 3 \cdot 4 + 3 \cdot (-2x) - 2x \cdot 4 - 2x \cdot (-2x) = 12 - 6x - 8x + 4x^2 = 12 - 14x + 4x^2$.

Теперь подставим все в исходное выражение:

$(25 - 4x^2) - (12 - 14x + 4x^2) = 25 - 4x^2 - 12 + 14x - 4x^2$.

Приведем подобные слагаемые:

$(-4x^2 - 4x^2) + 14x + (25 - 12) = -8x^2 + 14x + 13$.

Ответ: $-8x^2 + 14x + 13$.

4) Упростим выражение $(2ab + 1)(2ab - 1)(16a^4b^4 + 1)(4a^2b^2 + 1)$.

Для удобства сгруппируем множители так, чтобы последовательно применять формулу разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$.

Исходное выражение: $((2ab - 1)(2ab + 1))(4a^2b^2 + 1)(16a^4b^4 + 1)$.

Применим формулу к первой паре скобок:

$(2ab - 1)(2ab + 1) = (2ab)^2 - 1^2 = 4a^2b^2 - 1$.

Выражение принимает вид:

$(4a^2b^2 - 1)(4a^2b^2 + 1)(16a^4b^4 + 1)$.

Снова применяем формулу разности квадратов:

$(4a^2b^2 - 1)(4a^2b^2 + 1) = (4a^2b^2)^2 - 1^2 = 16a^4b^4 - 1$.

Выражение принимает вид:

$(16a^4b^4 - 1)(16a^4b^4 + 1)$.

И в последний раз применяем формулу разности квадратов:

$(16a^4b^4 - 1)(16a^4b^4 + 1) = (16a^4b^4)^2 - 1^2 = 256a^8b^8 - 1$.

Ответ: $256a^8b^8 - 1$.

1383. Вычислите значение произведения, используя формулу $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$:

1) $19 \cdot 21$;

2) $98 \cdot 102$;

3) $2\frac{2}{3} \cdot 3\frac{1}{3}$;

4) $7.9 \cdot 8.1$.

1) 19 · 21
Чтобы вычислить произведение с помощью формулы разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$, необходимо представить множители $19$ и $21$ в виде $(a-b)$ и $(a+b)$ соответственно.
Для этого найдем число $a$, которое является средним арифметическим чисел $19$ и $21$:
$a = \frac{19+21}{2} = \frac{40}{2} = 20$.
Теперь найдем число $b$, которое является разницей между $a$ и одним из множителей:
$b = 20 - 19 = 1$ или $b = 21 - 20 = 1$.
Таким образом, мы можем записать произведение как:
$19 \cdot 21 = (20 - 1)(20 + 1)$.
Применим формулу разности квадратов:
$(20 - 1)(20 + 1) = 20^2 - 1^2 = 400 - 1 = 399$.
Ответ: 399.

2) 98 · 102
Представим множители $98$ и $102$ в виде $(a-b)$ и $(a+b)$.
Найдем $a$ как среднее арифметическое:
$a = \frac{98+102}{2} = \frac{200}{2} = 100$.
Найдем $b$ как разницу:
$b = 100 - 98 = 2$ или $b = 102 - 100 = 2$.
Запишем произведение и применим формулу:
$98 \cdot 102 = (100 - 2)(100 + 2) = 100^2 - 2^2 = 10000 - 4 = 9996$.
Ответ: 9996.

3) $2\frac{2}{3} \cdot 3\frac{1}{3}$
Сначала преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:
$2\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{8}{3}$
$3\frac{1}{3} = \frac{3 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{10}{3}$
Теперь необходимо вычислить произведение $\frac{8}{3} \cdot \frac{10}{3}$. Представим множители в виде $(a-b)$ и $(a+b)$.
Найдем $a$ как среднее арифметическое дробей:
$a = \frac{\frac{8}{3} + \frac{10}{3}}{2} = \frac{\frac{18}{3}}{2} = \frac{6}{2} = 3$.
Найдем $b$ как разницу:
$b = 3 - \frac{8}{3} = \frac{9}{3} - \frac{8}{3} = \frac{1}{3}$.
Запишем произведение и применим формулу:
$2\frac{2}{3} \cdot 3\frac{1}{3} = (3 - \frac{1}{3})(3 + \frac{1}{3}) = 3^2 - (\frac{1}{3})^2 = 9 - \frac{1}{9} = 8\frac{8}{9}$.
Ответ: $8\frac{8}{9}$.

4) 7,9 · 8,1
Представим множители $7,9$ и $8,1$ в виде $(a-b)$ и $(a+b)$.
Найдем $a$ как среднее арифметическое:
$a = \frac{7,9+8,1}{2} = \frac{16}{2} = 8$.
Найдем $b$ как разницу:
$b = 8 - 7,9 = 0,1$ или $b = 8,1 - 8 = 0,1$.
Запишем произведение и применим формулу:
$7,9 \cdot 8,1 = (8 - 0,1)(8 + 0,1) = 8^2 - (0,1)^2 = 64 - 0,01 = 63,99$.
Ответ: 63,99.

1384. Решите уравнение:

1) $4x(7 + 9x) - (6x + 5)(6x - 5) = 39;$

2) $(x - 8)(x + 10) - (x + 7)(x - 7) = 5x - 31.$

1) Решим уравнение $4x(7 + 9x) - (6x + 5)(6x - 5) = 39$.
Сначала раскроем скобки. Первое слагаемое: $4x(7 + 9x) = 4x \cdot 7 + 4x \cdot 9x = 28x + 36x^2$.
Второе слагаемое $(6x + 5)(6x - 5)$ является формулой разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$.
Применим ее: $(6x + 5)(6x - 5) = (6x)^2 - 5^2 = 36x^2 - 25$.
Подставим раскрытые выражения обратно в уравнение:
$(28x + 36x^2) - (36x^2 - 25) = 39$
Раскроем вторые скобки, меняя знаки на противоположные, так как перед ними стоит минус:
$28x + 36x^2 - 36x^2 + 25 = 39$
Приведем подобные слагаемые. Члены с $x^2$ взаимно уничтожаются:
$28x + 25 = 39$
Перенесем 25 в правую часть уравнения с противоположным знаком:
$28x = 39 - 25$
$28x = 14$
Найдем $x$, разделив обе части на 28:
$x = \frac{14}{28}$
$x = \frac{1}{2}$ или $x = 0.5$
Ответ: $0.5$

2) Решим уравнение $(x - 8)(x + 10) - (x + 7)(x - 7) = 5x - 31$.
Раскроем скобки в левой части уравнения. Для первой пары скобок $(x - 8)(x + 10)$ применим правило умножения многочленов:
$(x - 8)(x + 10) = x \cdot x + 10 \cdot x - 8 \cdot x - 8 \cdot 10 = x^2 + 2x - 80$.
Для второй пары скобок $(x + 7)(x - 7)$ используем формулу разности квадратов:
$(x + 7)(x - 7) = x^2 - 7^2 = x^2 - 49$.
Подставим полученные выражения в исходное уравнение:
$(x^2 + 2x - 80) - (x^2 - 49) = 5x - 31$
Раскроем скобки, учитывая знак минус перед ними:
$x^2 + 2x - 80 - x^2 + 49 = 5x - 31$
Приведем подобные слагаемые в левой части. Члены с $x^2$ взаимно уничтожаются:
$2x - 31 = 5x - 31$
Перенесем слагаемые с $x$ в одну сторону, а числа в другую. Перенесем $5x$ влево, а $-31$ вправо:
$2x - 5x = -31 + 31$
$-3x = 0$
Разделим обе части на -3, чтобы найти $x$:
$x = 0$
Ответ: $0$

1385. Докажите, что выражение

$(a+b-c)(a-b) + (b+c-a)(b-c) + (c+a-b)(c-a)$

тождественно равно нулю.

Чтобы доказать, что данное выражение тождественно равно нулю, необходимо его упростить. Для этого последовательно раскроем скобки в каждом из трех слагаемых.

1. Раскроем скобки в первом слагаемом:

$(a+b-c)(a-b) = a \cdot (a+b-c) - b \cdot (a+b-c) = (a^2 + ab - ac) - (ab + b^2 - bc) = a^2 + ab - ac - ab - b^2 + bc = a^2 - b^2 - ac + bc$

2. Раскроем скобки во втором слагаемом:

$(b+c-a)(b-c) = b \cdot (b+c-a) - c \cdot (b+c-a) = (b^2 + bc - ab) - (bc + c^2 - ac) = b^2 + bc - ab - bc - c^2 + ac = b^2 - c^2 - ab + ac$

3. Раскроем скобки в третьем слагаемом:

$(c+a-b)(c-a) = c \cdot (c+a-b) - a \cdot (c+a-b) = (c^2 + ac - bc) - (ac + a^2 - ab) = c^2 + ac - bc - ac - a^2 + ab = c^2 - a^2 - bc + ab$

Теперь сложим три полученных выражения:

$(a^2 - b^2 - ac + bc) + (b^2 - c^2 - ab + ac) + (c^2 - a^2 - bc + ab)$

Снимем скобки и сгруппируем подобные члены:

$a^2 - b^2 - ac + bc + b^2 - c^2 - ab + ac + c^2 - a^2 - bc + ab = (a^2 - a^2) + (-b^2 + b^2) + (-c^2 + c^2) + (-ab + ab) + (bc - bc) + (-ac + ac)$

Выполнив сложение в каждой группе, получаем:

$0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 0$

Поскольку в результате всех преобразований выражение равно 0, тождество доказано.

Ответ: Выражение тождественно равно нулю.

1386. Найдите значение выражения:

1) $43^2 - 23^2$;

2) $256^2 - 244^2$;

3) $7.2^2 - 2.8^2$.

Для нахождения значения каждого выражения воспользуемся формулой сокращенного умножения — разностью квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$. Этот метод позволяет избежать возведения в квадрат больших чисел и упростить вычисления.

1)

Применим формулу разности квадратов к выражению $43^2 - 23^2$.

В данном случае $a = 43$ и $b = 23$.

Разложим выражение на множители:

$43^2 - 23^2 = (43 - 23)(43 + 23)$

Сначала вычислим значение в каждой скобке:

$43 - 23 = 20$

$43 + 23 = 66$

Теперь перемножим полученные результаты:

$20 \cdot 66 = 1320$

Ответ: $1320$

2)

Применим ту же формулу к выражению $256^2 - 244^2$.

Здесь $a = 256$ и $b = 244$.

Подставим значения в формулу:

$256^2 - 244^2 = (256 - 244)(256 + 244)$

Вычислим разность и сумму:

$256 - 244 = 12$

$256 + 244 = 500$

Найдем произведение:

$12 \cdot 500 = 6000$

Ответ: $6000$

3)

Используем формулу разности квадратов для выражения $7,2^2 - 2,8^2$.

В этом примере $a = 7,2$ и $b = 2,8$.

Разложим на множители:

$7,2^2 - 2,8^2 = (7,2 - 2,8)(7,2 + 2,8)$

Выполним вычисления в скобках:

$7,2 - 2,8 = 4,4$

$7,2 + 2,8 = 10$

Теперь перемножим полученные значения:

$4,4 \cdot 10 = 44$

Ответ: $44$

1387. Вычислите:

1) $\frac{39^2 - 33^2}{24^2 - 12^2};$

2) $\frac{5,3^2 - 1,7^2}{2,65^2 - 0,85^2}.$

1) Чтобы вычислить значение выражения, воспользуемся формулой сокращенного умножения "разность квадратов": $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

Применим эту формулу к числителю и знаменателю дроби:

Числитель: $39^2 - 33^2 = (39 - 33)(39 + 33) = 6 \cdot 72$.

Знаменатель: $24^2 - 12^2 = (24 - 12)(24 + 12) = 12 \cdot 36$.

Теперь подставим полученные выражения в дробь и выполним сокращение:

$\frac{39^2 - 33^2}{24^2 - 12^2} = \frac{6 \cdot 72}{12 \cdot 36} = \frac{6}{12} \cdot \frac{72}{36} = \frac{1}{2} \cdot 2 = 1$.

Ответ: 1

2) Аналогично первому примеру, применяем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

Преобразуем числитель дроби:

$5,3^2 - 1,7^2 = (5,3 - 1,7)(5,3 + 1,7) = 3,6 \cdot 7,0 = 3,6 \cdot 7$.

Преобразуем знаменатель дроби:

$2,65^2 - 0,85^2 = (2,65 - 0,85)(2,65 + 0,85) = 1,8 \cdot 3,5$.

Подставим полученные выражения в дробь и произведем вычисления:

$\frac{5,3^2 - 1,7^2}{2,65^2 - 0,85^2} = \frac{3,6 \cdot 7}{1,8 \cdot 3,5}$.

Сократим полученную дробь. Заметим, что $3,6$ делится на $1,8$ и $7$ делится на $3,5$:

$\frac{3,6}{1,8} \cdot \frac{7}{3,5} = 2 \cdot 2 = 4$.

Ответ: 4

1388. Решите уравнение:

1) $36x^2 - (3x - 27)^2 = 0;$

2) $(4x - 7)^2 - (2x + 17)^2 = 0.$

1) $36x^2 - (3x - 27)^2 = 0$

Данное уравнение является разностью квадратов. Воспользуемся формулой сокращенного умножения: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

Представим член $36x^2$ как квадрат выражения $6x$, то есть $36x^2 = (6x)^2$.

Уравнение примет вид:

$(6x)^2 - (3x - 27)^2 = 0$

Применим формулу разности квадратов, где $a = 6x$ и $b = 3x - 27$:

$(6x - (3x - 27))(6x + (3x - 27)) = 0$

Раскроем скобки в каждом из двух множителей:

$(6x - 3x + 27)(6x + 3x - 27) = 0$

Приведем подобные слагаемые в каждом множителе:

$(3x + 27)(9x - 27) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому мы можем приравнять каждый множитель к нулю и решить получившиеся линейные уравнения.

1. $3x + 27 = 0$

$3x = -27$

$x = \frac{-27}{3}$

$x_1 = -9$

2. $9x - 27 = 0$

$9x = 27$

$x = \frac{27}{9}$

$x_2 = 3$

Ответ: $-9; 3$.

2) $(4x - 7)^2 - (2x + 17)^2 = 0$

Это уравнение также представляет собой разность квадратов. Применим ту же формулу $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, где $a = 4x - 7$ и $b = 2x + 17$.

Разложим левую часть уравнения на множители:

$((4x - 7) - (2x + 17))((4x - 7) + (2x + 17)) = 0$

Раскроем внутренние скобки в каждом множителе:

$(4x - 7 - 2x - 17)(4x - 7 + 2x + 17) = 0$

Упростим выражения, приведя подобные слагаемые:

$(2x - 24)(6x + 10) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Решим два линейных уравнения:

1. $2x - 24 = 0$

$2x = 24$

$x = \frac{24}{2}$

$x_1 = 12$

2. $6x + 10 = 0$

$6x = -10$

$x = -\frac{10}{6}$

$x_2 = -\frac{5}{3}$

Ответ: $12; -\frac{5}{3}$.

1389. Докажите, что при любом натуральном значении n значение выражения:

1) $(4n + 19)^2 - (3n - 5)^2$ делится нацело на 7;

2) $(2n + 5)^2 - (2n - 3)^2$ делится нацело на 16.

1) Чтобы доказать, что значение выражения $(4n + 19)^2 - (3n - 5)^2$ делится нацело на 7 при любом натуральном значении $n$, воспользуемся формулой разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

В данном случае $a = 4n + 19$ и $b = 3n - 5$.

Подставим эти значения в формулу:

$(4n + 19)^2 - (3n - 5)^2 = ((4n + 19) - (3n - 5)) \cdot ((4n + 19) + (3n - 5))$

Теперь упростим выражения в каждой из скобок:

Первая скобка (разность):
$(4n + 19) - (3n - 5) = 4n + 19 - 3n + 5 = (4n - 3n) + (19 + 5) = n + 24$

Вторая скобка (сумма):
$(4n + 19) + (3n - 5) = 4n + 19 + 3n - 5 = (4n + 3n) + (19 - 5) = 7n + 14$

Таким образом, исходное выражение можно записать в виде произведения:

$(n + 24)(7n + 14)$

Из второй скобки можно вынести общий множитель 7:

$7n + 14 = 7(n + 2)$

Тогда все выражение будет равно:

$(n + 24) \cdot 7(n + 2) = 7(n + 24)(n + 2)$

Поскольку $n$ является натуральным числом, то $n+24$ и $n+2$ являются целыми числами. Их произведение $(n+24)(n+2)$ также является целым числом. Следовательно, все выражение представляет собой произведение числа 7 на целое число, а это означает, что оно всегда делится нацело на 7. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

2) Чтобы доказать, что значение выражения $(2n + 5)^2 - (2n - 3)^2$ делится нацело на 16 при любом натуральном значении $n$, мы также применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

Здесь $a = 2n + 5$ и $b = 2n - 3$.

Применим формулу:

$(2n + 5)^2 - (2n - 3)^2 = ((2n + 5) - (2n - 3)) \cdot ((2n + 5) + (2n - 3))$

Упростим выражения в каждой из скобок:

Первая скобка (разность):
$(2n + 5) - (2n - 3) = 2n + 5 - 2n + 3 = (2n - 2n) + (5 + 3) = 8$

Вторая скобка (сумма):
$(2n + 5) + (2n - 3) = 2n + 5 + 2n - 3 = (2n + 2n) + (5 - 3) = 4n + 2$

Таким образом, исходное выражение равно произведению:

$8 \cdot (4n + 2)$

Из второй скобки $(4n + 2)$ можно вынести общий множитель 2:

$4n + 2 = 2(2n + 1)$

Подставим это обратно в выражение:

$8 \cdot 2(2n + 1) = 16(2n + 1)$

Так как $n$ — натуральное число, $2n+1$ является целым числом. Выражение $16(2n + 1)$ представляет собой произведение числа 16 на целое число, следовательно, оно всегда делится нацело на 16. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

1390. Докажите, что при любом натуральном значении $n$ значение выражения $(n^2 - 3n + 1)^2 - n^4 - 8n^2 + 3n + 5$ кратно 6.

Для того чтобы доказать, что значение выражения кратно 6 при любом натуральном $n$, необходимо сначала упростить данное выражение.

Исходное выражение: $(n^2 - 3n + 1)^2 - n^4 - 8n^2 + 3n + 5$.

Раскроем скобки, используя формулу квадрата многочлена:
$(n^2 - 3n + 1)^2 = (n^2)^2 + (-3n)^2 + 1^2 + 2(n^2)(-3n) + 2(n^2)(1) + 2(-3n)(1) = n^4 + 9n^2 + 1 - 6n^3 + 2n^2 - 6n = n^4 - 6n^3 + 11n^2 - 6n + 1$.

Подставим полученное выражение в исходное и приведем подобные слагаемые:
$(n^4 - 6n^3 + 11n^2 - 6n + 1) - n^4 - 8n^2 + 3n + 5 = (n^4 - n^4) - 6n^3 + (11n^2 - 8n^2) + (-6n + 3n) + (1 + 5) = -6n^3 + 3n^2 - 3n + 6$.

Теперь докажем, что полученное выражение $-6n^3 + 3n^2 - 3n + 6$ делится на 6 без остатка для любого натурального $n$. Чтобы число делилось на 6, оно должно делиться одновременно на 2 и на 3, так как 2 и 3 — взаимно простые числа.

Докажем делимость на 3.
Вынесем 3 за скобки: $-6n^3 + 3n^2 - 3n + 6 = 3(-2n^3 + n^2 - n + 2)$.
Поскольку $n$ — натуральное число, выражение в скобках $(-2n^3 + n^2 - n + 2)$ является целым числом. Следовательно, все выражение делится на 3.

Докажем делимость на 2.
Сгруппируем слагаемые: $-6n^3 + 3n^2 - 3n + 6 = (-6n^3 + 6) + (3n^2 - 3n) = 6(1 - n^3) + 3n(n - 1)$.
Первое слагаемое, $6(1 - n^3)$, очевидно делится на 6, а значит, и на 2.
Рассмотрим второе слагаемое, $3n(n - 1)$. Произведение $n(n - 1)$ — это произведение двух последовательных натуральных чисел. Одно из этих чисел обязательно является четным, поэтому их произведение всегда делится на 2.
Так как $n(n - 1)$ делится на 2, то и $3n(n - 1)$ делится на 2.
Следовательно, выражение $6(1 - n^3) + 3n(n - 1)$ является суммой двух слагаемых, каждое из которых делится на 2. Значит, и вся сумма делится на 2.

Вывод:
Поскольку выражение $-6n^3 + 3n^2 - 3n + 6$ делится на 3 и на 2 при любом натуральном $n$, оно делится и на 6.

Ответ: Утверждение доказано.

1391. Докажите, что при любом натуральном значении n значение выражения $16n^4 - (4n^2 - 2n - 1)^2 + 8n + 1$ кратно 4.

Чтобы доказать, что значение выражения $16n^4 - (4n^2 - 2n - 1)^2 + 8n + 1$ кратно 4 при любом натуральном $n$, упростим это выражение.
Первым делом раскроем скобку с квадратом трехчлена $(4n^2 - 2n - 1)^2$. Для этого воспользуемся формулой квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, представив выражение как $((4n^2-2n)-1)^2$:
$((4n^2 - 2n) - 1)^2 = (4n^2 - 2n)^2 - 2(4n^2 - 2n) \cdot 1 + 1^2$
$= ((4n^2)^2 - 2 \cdot 4n^2 \cdot 2n + (2n)^2) - 8n^2 + 4n + 1$
$= (16n^4 - 16n^3 + 4n^2) - 8n^2 + 4n + 1$
$= 16n^4 - 16n^3 - 4n^2 + 4n + 1$.
Теперь подставим полученный результат обратно в исходное выражение:
$16n^4 - (16n^4 - 16n^3 - 4n^2 + 4n + 1) + 8n + 1$.
Раскроем скобки, не забывая поменять знаки слагаемых внутри на противоположные, и приведем подобные члены:
$16n^4 - 16n^4 + 16n^3 + 4n^2 - 4n - 1 + 8n + 1$
$= (16n^4 - 16n^4) + 16n^3 + 4n^2 + (-4n + 8n) + (-1 + 1)$
$= 16n^3 + 4n^2 + 4n$.
Чтобы доказать, что итоговое выражение $16n^3 + 4n^2 + 4n$ кратно 4, вынесем общий множитель 4 за скобки:
$4(4n^3 + n^2 + n)$.
Так как $n$ по условию является натуральным числом, то $n^2$ и $n^3$ также являются целыми числами. Следовательно, выражение в скобках $(4n^3 + n^2 + n)$ всегда будет целым числом.Поскольку один из множителей произведения равен 4, то все произведение делится на 4 нацело.Таким образом, мы доказали, что исходное выражение кратно 4 при любом натуральном значении $n$.

Ответ: Утверждение доказано, так как после упрощения выражение принимает вид $4(4n^3 + n^2 + n)$, которое очевидно кратно 4 для любого натурального $n$.

1392. При каком значении $a$ уравнение $(a-3)(a+5) x = a^2 - 9$:

1) имеет бесконечно много корней;

2) не имеет корней;

3) имеет один корень?

Проанализируем данное линейное уравнение $(a - 3)(a + 5)x = a^2 - 9$.

Это уравнение вида $kx = b$, где коэффициент при $x$ равен $k = (a - 3)(a + 5)$, а свободный член $b = a^2 - 9$. Для удобства анализа разложим свободный член на множители по формуле разности квадратов: $b = (a - 3)(a + 3)$.

Количество корней уравнения зависит от значений коэффициентов $k$ и $b$.

Уравнение имеет бесконечно много корней тогда и только тогда, когда оно принимает вид $0 \cdot x = 0$. Это выполняется при условии, что и коэффициент $k$, и свободный член $b$ одновременно равны нулю.

Приравняем оба выражения к нулю:
$k = (a - 3)(a + 5) = 0$, откуда $a = 3$ или $a = -5$.
$b = (a - 3)(a + 3) = 0$, откуда $a = 3$ или $a = -3$.

Оба условия ($k=0$ и $b=0$) выполняются одновременно только при общем значении $a=3$. При подстановке этого значения в исходное уравнение получаем $0 \cdot x = 0$, что является верным равенством для любого значения $x$.

Ответ: при $a=3$.

Уравнение не имеет корней, если оно сводится к неверному равенству вида $0 \cdot x = b$, где $b \neq 0$. Это происходит, когда коэффициент $k=0$, а свободный член $b \neq 0$.

Из пункта 1 мы знаем, что $k=0$ при $a=3$ или $a=-5$.

Рассмотрим эти два случая. При $a=3$, свободный член $b=0$, что приводит к бесконечному числу корней. При $a=-5$, свободный член $b = (-5)^2 - 9 = 25 - 9 = 16$. Поскольку $b=16 \neq 0$, это искомое значение. При $a=-5$ уравнение принимает вид $0 \cdot x = 16$, которое не имеет решений.

Ответ: при $a=-5$.

Уравнение имеет ровно один корень, если коэффициент при $x$ не равен нулю ($k \neq 0$). В этом случае корень находится как $x = b/k$.

Условие $k \neq 0$ означает, что $(a - 3)(a + 5) \neq 0$. Произведение не равно нулю, когда каждый из множителей не равен нулю, то есть $a - 3 \neq 0$ и $a + 5 \neq 0$.

Отсюда следует, что $a \neq 3$ и $a \neq -5$. При всех таких значениях $a$ уравнение будет иметь единственный корень.

Ответ: при $a \neq 3$ и $a \neq -5$.

1393. Используя формулу квадрата суммы или формулу квадрата разности, вычислите:

1) $69^2$;

2) $91^2$;

3) $52^2$;

4) $97^2$;

5) $299^2$;

6) $10,2^2$.

Для решения задачи воспользуемся формулами сокращенного умножения:

• Формула квадрата суммы: $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
• Формула квадрата разности: $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$

1) Для вычисления $69^2$ представим число 69 в виде разности $70 - 1$ и применим формулу квадрата разности.

$69^2 = (70 - 1)^2 = 70^2 - 2 \cdot 70 \cdot 1 + 1^2 = 4900 - 140 + 1 = 4761$.

Ответ: 4761.

2) Для вычисления $91^2$ представим число 91 в виде суммы $90 + 1$ и применим формулу квадрата суммы.

$91^2 = (90 + 1)^2 = 90^2 + 2 \cdot 90 \cdot 1 + 1^2 = 8100 + 180 + 1 = 8281$.

Ответ: 8281.

3) Для вычисления $52^2$ представим число 52 в виде суммы $50 + 2$ и применим формулу квадрата суммы.

$52^2 = (50 + 2)^2 = 50^2 + 2 \cdot 50 \cdot 2 + 2^2 = 2500 + 200 + 4 = 2704$.

Ответ: 2704.

4) Для вычисления $97^2$ представим число 97 в виде разности $100 - 3$ и применим формулу квадрата разности.

$97^2 = (100 - 3)^2 = 100^2 - 2 \cdot 100 \cdot 3 + 3^2 = 10000 - 600 + 9 = 9409$.

Ответ: 9409.

5) Для вычисления $299^2$ представим число 299 в виде разности $300 - 1$ и применим формулу квадрата разности.

$299^2 = (300 - 1)^2 = 300^2 - 2 \cdot 300 \cdot 1 + 1^2 = 90000 - 600 + 1 = 89401$.

Ответ: 89401.

6) Для вычисления $10,2^2$ представим число 10,2 в виде суммы $10 + 0,2$ и применим формулу квадрата суммы.

$10,2^2 = (10 + 0,2)^2 = 10^2 + 2 \cdot 10 \cdot 0,2 + (0,2)^2 = 100 + 4 + 0,04 = 104,04$.

Ответ: 104,04.