Номер 1391, страница 262 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения для повторения курса 7 класса - номер 1391, страница 262.

Условие.

1391. Докажите, что при любом натуральном значении n значение выражения $16n^4 - (4n^2 - 2n - 1)^2 + 8n + 1$ кратно 4.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Чтобы доказать, что значение выражения $16n^4 - (4n^2 - 2n - 1)^2 + 8n + 1$ кратно 4 при любом натуральном $n$, упростим это выражение.
Первым делом раскроем скобку с квадратом трехчлена $(4n^2 - 2n - 1)^2$. Для этого воспользуемся формулой квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, представив выражение как $((4n^2-2n)-1)^2$:
$((4n^2 - 2n) - 1)^2 = (4n^2 - 2n)^2 - 2(4n^2 - 2n) \cdot 1 + 1^2$
$= ((4n^2)^2 - 2 \cdot 4n^2 \cdot 2n + (2n)^2) - 8n^2 + 4n + 1$
$= (16n^4 - 16n^3 + 4n^2) - 8n^2 + 4n + 1$
$= 16n^4 - 16n^3 - 4n^2 + 4n + 1$.
Теперь подставим полученный результат обратно в исходное выражение:
$16n^4 - (16n^4 - 16n^3 - 4n^2 + 4n + 1) + 8n + 1$.
Раскроем скобки, не забывая поменять знаки слагаемых внутри на противоположные, и приведем подобные члены:
$16n^4 - 16n^4 + 16n^3 + 4n^2 - 4n - 1 + 8n + 1$
$= (16n^4 - 16n^4) + 16n^3 + 4n^2 + (-4n + 8n) + (-1 + 1)$
$= 16n^3 + 4n^2 + 4n$.
Чтобы доказать, что итоговое выражение $16n^3 + 4n^2 + 4n$ кратно 4, вынесем общий множитель 4 за скобки:
$4(4n^3 + n^2 + n)$.
Так как $n$ по условию является натуральным числом, то $n^2$ и $n^3$ также являются целыми числами. Следовательно, выражение в скобках $(4n^3 + n^2 + n)$ всегда будет целым числом.Поскольку один из множителей произведения равен 4, то все произведение делится на 4 нацело.Таким образом, мы доказали, что исходное выражение кратно 4 при любом натуральном значении $n$.

Ответ: Утверждение доказано, так как после упрощения выражение принимает вид $4(4n^3 + n^2 + n)$, которое очевидно кратно 4 для любого натурального $n$.