Номер 1389, страница 262 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения для повторения курса 7 класса - номер 1389, страница 262.

Условие.

1389. Докажите, что при любом натуральном значении n значение выражения:

1) $(4n + 19)^2 - (3n - 5)^2$ делится нацело на 7;

2) $(2n + 5)^2 - (2n - 3)^2$ делится нацело на 16.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) Чтобы доказать, что значение выражения $(4n + 19)^2 - (3n - 5)^2$ делится нацело на 7 при любом натуральном значении $n$, воспользуемся формулой разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

В данном случае $a = 4n + 19$ и $b = 3n - 5$.

Подставим эти значения в формулу:

$(4n + 19)^2 - (3n - 5)^2 = ((4n + 19) - (3n - 5)) \cdot ((4n + 19) + (3n - 5))$

Теперь упростим выражения в каждой из скобок:

Первая скобка (разность):
$(4n + 19) - (3n - 5) = 4n + 19 - 3n + 5 = (4n - 3n) + (19 + 5) = n + 24$

Вторая скобка (сумма):
$(4n + 19) + (3n - 5) = 4n + 19 + 3n - 5 = (4n + 3n) + (19 - 5) = 7n + 14$

Таким образом, исходное выражение можно записать в виде произведения:

$(n + 24)(7n + 14)$

Из второй скобки можно вынести общий множитель 7:

$7n + 14 = 7(n + 2)$

Тогда все выражение будет равно:

$(n + 24) \cdot 7(n + 2) = 7(n + 24)(n + 2)$

Поскольку $n$ является натуральным числом, то $n+24$ и $n+2$ являются целыми числами. Их произведение $(n+24)(n+2)$ также является целым числом. Следовательно, все выражение представляет собой произведение числа 7 на целое число, а это означает, что оно всегда делится нацело на 7. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

2) Чтобы доказать, что значение выражения $(2n + 5)^2 - (2n - 3)^2$ делится нацело на 16 при любом натуральном значении $n$, мы также применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

Здесь $a = 2n + 5$ и $b = 2n - 3$.

Применим формулу:

$(2n + 5)^2 - (2n - 3)^2 = ((2n + 5) - (2n - 3)) \cdot ((2n + 5) + (2n - 3))$

Упростим выражения в каждой из скобок:

Первая скобка (разность):
$(2n + 5) - (2n - 3) = 2n + 5 - 2n + 3 = (2n - 2n) + (5 + 3) = 8$

Вторая скобка (сумма):
$(2n + 5) + (2n - 3) = 2n + 5 + 2n - 3 = (2n + 2n) + (5 - 3) = 4n + 2$

Таким образом, исходное выражение равно произведению:

$8 \cdot (4n + 2)$

Из второй скобки $(4n + 2)$ можно вынести общий множитель 2:

$4n + 2 = 2(2n + 1)$

Подставим это обратно в выражение:

$8 \cdot 2(2n + 1) = 16(2n + 1)$

Так как $n$ — натуральное число, $2n+1$ является целым числом. Выражение $16(2n + 1)$ представляет собой произведение числа 16 на целое число, следовательно, оно всегда делится нацело на 16. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.