Номер 1395, страница 263 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения для повторения курса 7 класса - номер 1395, страница 263.

Условие.

1395.Докажите, что не существует натурального значения $n$, при котором значение выражения $(8n + 5)(2n + 1) - (4n + 1)^2$ делилось бы нацело на 5.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для того чтобы доказать утверждение, сперва упростим данное алгебраическое выражение.

Выражение: $(8n + 5)(2n + 1) - (4n + 1)^2$.

1. Раскроем произведение двух скобок:

$(8n + 5)(2n + 1) = 8n \cdot 2n + 8n \cdot 1 + 5 \cdot 2n + 5 \cdot 1 = 16n^2 + 8n + 10n + 5 = 16n^2 + 18n + 5$.

2. Раскроем квадрат суммы по формуле $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$(4n + 1)^2 = (4n)^2 + 2 \cdot 4n \cdot 1 + 1^2 = 16n^2 + 8n + 1$.

3. Подставим полученные выражения в исходное и выполним вычитание:

$(16n^2 + 18n + 5) - (16n^2 + 8n + 1) = 16n^2 + 18n + 5 - 16n^2 - 8n - 1$.

4. Приведем подобные слагаемые:

$(16n^2 - 16n^2) + (18n - 8n) + (5 - 1) = 0 + 10n + 4 = 10n + 4$.

Таким образом, исходное выражение тождественно равно $10n + 4$ для любого $n$. Теперь необходимо доказать, что $10n + 4$ не делится нацело на 5 ни при каком натуральном значении $n$.

Рассмотрим выражение $10n + 4$.

Слагаемое $10n$ можно представить в виде $5 \cdot (2n)$. Так как $n$ — натуральное число, $2n$ — также является целым числом. Это означает, что $10n$ всегда делится на 5 без остатка.

Рассмотрим сумму $10n + 4$. Так как $10n$ делится на 5, то остаток от деления всей суммы на 5 будет равен остатку от деления числа 4 на 5.

Число 4 при делении на 5 даёт остаток 4.

Следовательно, выражение $10n + 4$ при делении на 5 всегда даёт в остатке 4. Число, которое даёт остаток 4 при делении на 5, не может делиться на 5 нацело (для этого остаток должен быть равен 0).

Таким образом, мы доказали, что значение выражения $(8n + 5)(2n + 1) - (4n + 1)^2$ не делится нацело на 5 ни при каком натуральном $n$.

Ответ: Значение исходного выражения при любом натуральном $n$ равно $10n + 4$. Поскольку $10n$ всегда делится на 5, а 4 не делится на 5, то и вся сумма $10n+4$ не делится на 5. При делении на 5 это выражение всегда даёт в остатке 4. Следовательно, не существует натурального $n$, при котором выражение делилось бы нацело на 5.