Номер 1399, страница 263 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения для повторения курса 7 класса - номер 1399, страница 263.

Условие.

1399. Сумму какого одночлена и трёхчлена $4a^2 - 6ab + 9b^2$ можно разложить на множители по формуле квадрата двучлена? Найдите ещё три таких одночлена.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Чтобы сумму одночлена и трёхчлена $4a^2 - 6ab + 9b^2$ можно было разложить на множители по формуле квадрата двучлена, итоговое выражение должно быть полным квадратом, то есть соответствовать формуле $(x \pm y)^2 = x^2 \pm 2xy + y^2$.

Пусть искомый одночлен равен $M$. Тогда выражение $4a^2 - 6ab + 9b^2 + M$ должно стать полным квадратом. Существует несколько способов этого добиться, в зависимости от того, какой из членов исходного трёхчлена мы изменяем.

Сумму какого одночлена и трёхчлена $4a^2 - 6ab + 9b^2$ можно разложить на множители по формуле квадрата двучлена?

Рассмотрим случай, когда добавляемый одночлен $M$ изменяет средний член $-6ab$, а крайние члены $4a^2 = (2a)^2$ и $9b^2 = (3b)^2$ остаются квадратами слагаемых. Для того чтобы выражение стало полным квадратом, его средний член должен быть равен удвоенному произведению оснований, то есть $\pm 2 \cdot (2a) \cdot (3b) = \pm 12ab$.

Выберем вариант с квадратом разности: $(2a - 3b)^2 = 4a^2 - 12ab + 9b^2$.

Чтобы исходный трёхчлен $4a^2 - 6ab + 9b^2$ превратился в $4a^2 - 12ab + 9b^2$, нужно к нему прибавить такой одночлен $M$, что:

$(4a^2 - 6ab + 9b^2) + M = 4a^2 - 12ab + 9b^2$

Отсюда находим $M$:

$M = (4a^2 - 12ab + 9b^2) - (4a^2 - 6ab + 9b^2)$

$M = -12ab - (-6ab) = -12ab + 6ab = -6ab$

Проверка: $4a^2 - 6ab + 9b^2 + (-6ab) = 4a^2 - 12ab + 9b^2 = (2a - 3b)^2$.

Ответ: $-6ab$.

Найдите ещё три таких одночлена.

Существуют и другие одночлены, которые можно прибавить к исходному выражению, чтобы получить полный квадрат. Рассмотрим другие возможные случаи.

1. Первый одночлен (квадрат суммы).

Возьмем тот же случай, что и выше ($4a^2=(2a)^2$ и $9b^2=(3b)^2$), но получим квадрат суммы: $(2a + 3b)^2 = 4a^2 + 12ab + 9b^2$.

$(4a^2 - 6ab + 9b^2) + M_1 = 4a^2 + 12ab + 9b^2$

$M_1 = 12ab - (-6ab) = 18ab$.

2. Второй одночлен (изменяем член с $a^2$).

Предположим, что одночлен $M$ изменяет член $4a^2$, а члены $-6ab$ и $9b^2=(3b)^2$ являются частью полного квадрата. Полный квадрат будет вида $(x - 3b)^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot (3b) + (3b)^2 = x^2 - 6xb + 9b^2$.

Сравнивая член $-6xb$ с $-6ab$, находим, что $x=a$. Значит, мы стремимся получить трёхчлен $(a-3b)^2 = a^2 - 6ab + 9b^2$.

$(4a^2 + M_2) - 6ab + 9b^2 = a^2 - 6ab + 9b^2$

$4a^2 + M_2 = a^2 \implies M_2 = a^2 - 4a^2 = -3a^2$.

3. Третий одночлен (изменяем член с $b^2$).

Предположим, что одночлен $M$ изменяет член $9b^2$, а члены $4a^2=(2a)^2$ и $-6ab$ являются частью полного квадрата. Полный квадрат будет вида $(2a - y)^2 = (2a)^2 - 2 \cdot (2a) \cdot y + y^2 = 4a^2 - 4ay + y^2$.

Сравнивая член $-4ay$ с $-6ab$, находим $y = \frac{6ab}{4a} = \frac{3}{2}b$. Значит, мы стремимся получить трёхчлен $(2a - \frac{3}{2}b)^2 = 4a^2 - 6ab + (\frac{3}{2}b)^2 = 4a^2 - 6ab + \frac{9}{4}b^2$.

$4a^2 - 6ab + (9b^2 + M_3) = 4a^2 - 6ab + \frac{9}{4}b^2$

$9b^2 + M_3 = \frac{9}{4}b^2 \implies M_3 = \frac{9}{4}b^2 - 9b^2 = (\frac{9}{4} - \frac{36}{4})b^2 = -\frac{27}{4}b^2$.

Ответ: ещё три таких одночлена: $18ab$, $-3a^2$, $-\frac{27}{4}b^2$.