Номер 1401, страница 263 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения для повторения курса 7 класса - номер 1401, страница 263.

Условие.

1401. Разложите на множители:

1) $\frac{1}{64}a^8 - b^6;$

2) $a^3b^6c^9 + 8;$

3) $x^{21}y^{24} - m^{12}n^{15};$

4) $a^6b^6 + 1.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1)

Данное выражение $\frac{1}{64}a^8 - b^6$ представляет собой разность квадратов, так как его можно записать в виде $A^2 - B^2$. Воспользуемся формулой разности квадратов: $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$.

Представим каждый член выражения в виде квадрата:

Первый член: $\frac{1}{64}a^8 = (\frac{1}{8}a^4)^2$.

Второй член: $b^6 = (b^3)^2$.

Таким образом, $A = \frac{1}{8}a^4$ и $B = b^3$.

Подставим эти значения в формулу разности квадратов:

$\frac{1}{64}a^8 - b^6 = (\frac{1}{8}a^4)^2 - (b^3)^2 = (\frac{1}{8}a^4 - b^3)(\frac{1}{8}a^4 + b^3)$.

Полученные множители нельзя разложить дальше с помощью стандартных формул.

Ответ: $(\frac{1}{8}a^4 - b^3)(\frac{1}{8}a^4 + b^3)$.

2)

Это выражение $a^3b^6c^9 + 8$ является суммой кубов, которую можно представить в виде $A^3 + B^3$. Применим формулу суммы кубов: $A^3 + B^3 = (A + B)(A^2 - AB + B^2)$.

Представим каждый член выражения в виде куба:

Первый член: $a^3b^6c^9 = a^3(b^2)^3(c^3)^3 = (ab^2c^3)^3$.

Второй член: $8 = 2^3$.

Следовательно, $A = ab^2c^3$ и $B = 2$.

Теперь подставим $A$ и $B$ в формулу суммы кубов:

Первый множитель: $(A + B) = (ab^2c^3 + 2)$.

Второй множитель: $(A^2 - AB + B^2) = ((ab^2c^3)^2 - (ab^2c^3)(2) + 2^2) = (a^2b^4c^6 - 2ab^2c^3 + 4)$.

Итоговое разложение: $a^3b^6c^9 + 8 = (ab^2c^3 + 2)(a^2b^4c^6 - 2ab^2c^3 + 4)$.

Ответ: $(ab^2c^3 + 2)(a^2b^4c^6 - 2ab^2c^3 + 4)$.

3)

Данное выражение $x^{21}y^{24} - m^{12}n^{15}$ является разностью кубов, так как все степени кратны 3. Его можно представить в виде $A^3 - B^3$. Используем формулу разности кубов: $A^3 - B^3 = (A - B)(A^2 + AB + B^2)$.

Представим каждый член выражения в виде куба:

Первый член: $x^{21}y^{24} = (x^7)^3(y^8)^3 = (x^7y^8)^3$.

Второй член: $m^{12}n^{15} = (m^4)^3(n^5)^3 = (m^4n^5)^3$.

Таким образом, $A = x^7y^8$ и $B = m^4n^5$.

Подставим эти значения в формулу разности кубов:

Первый множитель: $(A - B) = (x^7y^8 - m^4n^5)$.

Второй множитель: $(A^2 + AB + B^2) = ((x^7y^8)^2 + (x^7y^8)(m^4n^5) + (m^4n^5)^2) = (x^{14}y^{16} + x^7y^8m^4n^5 + m^8n^{10})$.

В результате получаем разложение: $x^{21}y^{24} - m^{12}n^{15} = (x^7y^8 - m^4n^5)(x^{14}y^{16} + x^7y^8m^4n^5 + m^8n^{10})$.

Ответ: $(x^7y^8 - m^4n^5)(x^{14}y^{16} + x^7y^8m^4n^5 + m^8n^{10})$.

4)

Это выражение $a^6b^6 + 1$ можно представить как сумму кубов, так как $a^6b^6 = (ab)^6 = ((ab)^2)^3$. Воспользуемся формулой суммы кубов: $A^3 + B^3 = (A + B)(A^2 - AB + B^2)$.

Представим выражение в виде суммы кубов:

$a^6b^6 + 1 = (a^2b^2)^3 + 1^3$.

Здесь $A = a^2b^2$ и $B = 1$.

Подставим $A$ и $B$ в формулу:

Первый множитель: $(A + B) = (a^2b^2 + 1)$.

Второй множитель: $(A^2 - AB + B^2) = ((a^2b^2)^2 - (a^2b^2)(1) + 1^2) = (a^4b^4 - a^2b^2 + 1)$.

Таким образом, итоговое разложение на множители: $a^6b^6 + 1 = (a^2b^2 + 1)(a^4b^4 - a^2b^2 + 1)$.

Ответ: $(a^2b^2 + 1)(a^4b^4 - a^2b^2 + 1)$.