Номер 1407, страница 263 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения для повторения курса 7 класса - номер 1407, страница 263.

Условие.

1407. Из следующих четырёх выражений только три можно разложить на множители. Найдите эти выражения и разложите их на множители:

1) $9mx - 6nx + 6my - 4ny$;

2) $36x^2 - 24x + 4 - y^2$;

3) $x^2 - 4x + y^2 + 2y + 5$;

4) $4a + 3 + a^2 + 2b - b^2$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) $9mx - 6nx + 6my - 4ny$
Для разложения на множители данного выражения применим метод группировки. Сгруппируем первое и второе слагаемые, а также третье и четвертое:
$(9mx - 6nx) + (6my - 4ny)$
В первой группе вынесем за скобки общий множитель $3x$, а во второй — $2y$:
$3x(3m - 2n) + 2y(3m - 2n)$
Теперь можно вынести за скобку общий множитель $(3m - 2n)$:
$(3x + 2y)(3m - 2n)$
Ответ: $(3x + 2y)(3m - 2n)$.

2) $36x^2 - 24x + 4 - y^2$
Заметим, что первые три слагаемых $36x^2 - 24x + 4$ образуют полный квадрат разности. Воспользуемся формулой квадрата разности $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$:
$36x^2 - 24x + 4 = (6x)^2 - 2 \cdot 6x \cdot 2 + 2^2 = (6x - 2)^2$
Теперь исходное выражение можно переписать в виде разности квадратов:
$(6x - 2)^2 - y^2$
Применим формулу $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$, где $A = 6x - 2$ и $B = y$:
$((6x - 2) - y)((6x - 2) + y) = (6x - y - 2)(6x + y - 2)$
Ответ: $(6x - y - 2)(6x + y - 2)$.

4) $4a + 3 + a^2 + 2b - b^2$
Перегруппируем слагаемые и представим число $3$ как $4 - 1$, чтобы выделить полные квадраты:
$(a^2 + 4a + 4) - (b^2 - 2b + 1)$
Первая скобка является полным квадратом суммы $(a+2)^2$, а вторая — полным квадратом разности $(b-1)^2$:
$(a + 2)^2 - (b - 1)^2$
Это разность квадратов. Применим формулу $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$, где $A = a + 2$ и $B = b - 1$:
$((a + 2) - (b - 1))((a + 2) + (b - 1)) = (a + 2 - b + 1)(a + 2 + b - 1) = (a - b + 3)(a + b + 1)$
Ответ: $(a - b + 3)(a + b + 1)$.

Выражение 3) $x^2 - 4x + y^2 + 2y + 5$ является тем, которое нельзя разложить на множители. Его можно преобразовать к виду $(x^2 - 4x + 4) + (y^2 + 2y + 1) = (x - 2)^2 + (y + 1)^2$. Полученное выражение является суммой квадратов и не раскладывается на множители с действительными коэффициентами.