Страница 263 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

1394. На сколько значение выражения $(3a^2 - 2)^2 - (3a^2 - 1)(3a^2 + 1) + 12a^2$ больше числа 2?

Для того чтобы ответить на вопрос, необходимо сначала упростить данное алгебраическое выражение. Это позволит нам найти его числовое значение, не зависящее от переменной $a$.

Исходное выражение:

$(3a^2 - 2)^2 - (3a^2 - 1)(3a^2 + 1) + 12a^2$

Упростим выражение по частям, используя формулы сокращенного умножения:

1. Для первого слагаемого $(3a^2 - 2)^2$ применим формулу квадрата разности $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

Пусть $x = 3a^2$ и $y = 2$. Тогда:

$(3a^2 - 2)^2 = (3a^2)^2 - 2 \cdot (3a^2) \cdot 2 + 2^2 = 9a^4 - 12a^2 + 4$

2. Для второго слагаемого $(3a^2 - 1)(3a^2 + 1)$ применим формулу разности квадратов $(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$.

Пусть $x = 3a^2$ и $y = 1$. Тогда:

$(3a^2 - 1)(3a^2 + 1) = (3a^2)^2 - 1^2 = 9a^4 - 1$

3. Теперь подставим полученные результаты обратно в исходное выражение:

$(9a^4 - 12a^2 + 4) - (9a^4 - 1) + 12a^2$

Раскроем скобки. Важно помнить, что знак минус перед скобкой меняет знаки всех слагаемых внутри нее на противоположные:

$9a^4 - 12a^2 + 4 - 9a^4 + 1 + 12a^2$

4. Приведем подобные слагаемые, сгруппировав их:

$(9a^4 - 9a^4) + (-12a^2 + 12a^2) + (4 + 1)$

Выполним действия:

$0 + 0 + 5 = 5$

Таким образом, значение всего выражения равно 5.

Вопрос задачи: "На сколько значение выражения больше числа 2?". Чтобы найти это, нужно из значения выражения вычесть 2:

$5 - 2 = 3$

Ответ: Значение выражения больше числа 2 на 3.

1395.Докажите, что не существует натурального значения $n$, при котором значение выражения $(8n + 5)(2n + 1) - (4n + 1)^2$ делилось бы нацело на 5.

Для того чтобы доказать утверждение, сперва упростим данное алгебраическое выражение.

Выражение: $(8n + 5)(2n + 1) - (4n + 1)^2$.

1. Раскроем произведение двух скобок:

$(8n + 5)(2n + 1) = 8n \cdot 2n + 8n \cdot 1 + 5 \cdot 2n + 5 \cdot 1 = 16n^2 + 8n + 10n + 5 = 16n^2 + 18n + 5$.

2. Раскроем квадрат суммы по формуле $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$(4n + 1)^2 = (4n)^2 + 2 \cdot 4n \cdot 1 + 1^2 = 16n^2 + 8n + 1$.

3. Подставим полученные выражения в исходное и выполним вычитание:

$(16n^2 + 18n + 5) - (16n^2 + 8n + 1) = 16n^2 + 18n + 5 - 16n^2 - 8n - 1$.

4. Приведем подобные слагаемые:

$(16n^2 - 16n^2) + (18n - 8n) + (5 - 1) = 0 + 10n + 4 = 10n + 4$.

Таким образом, исходное выражение тождественно равно $10n + 4$ для любого $n$. Теперь необходимо доказать, что $10n + 4$ не делится нацело на 5 ни при каком натуральном значении $n$.

Рассмотрим выражение $10n + 4$.

Слагаемое $10n$ можно представить в виде $5 \cdot (2n)$. Так как $n$ — натуральное число, $2n$ — также является целым числом. Это означает, что $10n$ всегда делится на 5 без остатка.

Рассмотрим сумму $10n + 4$. Так как $10n$ делится на 5, то остаток от деления всей суммы на 5 будет равен остатку от деления числа 4 на 5.

Число 4 при делении на 5 даёт остаток 4.

Следовательно, выражение $10n + 4$ при делении на 5 всегда даёт в остатке 4. Число, которое даёт остаток 4 при делении на 5, не может делиться на 5 нацело (для этого остаток должен быть равен 0).

Таким образом, мы доказали, что значение выражения $(8n + 5)(2n + 1) - (4n + 1)^2$ не делится нацело на 5 ни при каком натуральном $n$.

Ответ: Значение исходного выражения при любом натуральном $n$ равно $10n + 4$. Поскольку $10n$ всегда делится на 5, а 4 не делится на 5, то и вся сумма $10n+4$ не делится на 5. При делении на 5 это выражение всегда даёт в остатке 4. Следовательно, не существует натурального $n$, при котором выражение делилось бы нацело на 5.

1396. Существует ли такое натуральное значение $n$, при котором значение выражения $(2n - 3)(2n + 3) - (n + 3)^2$ не делилось бы нацело на 3?

Чтобы ответить на поставленный вопрос, сперва упростим данное алгебраическое выражение: $(2n-3)(2n+3) - (n+3)^2$.

Первый член выражения, $(2n-3)(2n+3)$, представляет собой произведение разности и суммы двух чисел. Используем формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$:

$(2n-3)(2n+3) = (2n)^2 - 3^2 = 4n^2 - 9$.

Второй член выражения, $(n+3)^2$, является квадратом суммы. Раскроем его по формуле $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$(n+3)^2 = n^2 + 2 \cdot n \cdot 3 + 3^2 = n^2 + 6n + 9$.

Теперь подставим упрощенные части обратно в исходное выражение и выполним вычитание:

$(4n^2 - 9) - (n^2 + 6n + 9) = 4n^2 - 9 - n^2 - 6n - 9$.

Приведем подобные слагаемые, сгруппировав их:

$(4n^2 - n^2) - 6n - (9 + 9) = 3n^2 - 6n - 18$.

Итак, мы упростили выражение до вида $3n^2 - 6n - 18$. Теперь необходимо проверить его на делимость на 3. Заметим, что каждый коэффициент этого многочлена кратен 3. Вынесем общий множитель 3 за скобки:

$3n^2 - 6n - 18 = 3(n^2 - 2n - 6)$.

По условию $n$ — натуральное число, то есть целое положительное число. Тогда выражение в скобках $(n^2 - 2n - 6)$ всегда будет являться целым числом. Таким образом, значение всего исходного выражения можно представить в виде $3 \cdot k$, где $k = n^2 - 2n - 6$ — целое число.

По определению делимости, если число можно представить как произведение 3 и некоторого целого числа, то оно делится на 3 нацело. Следовательно, значение выражения $(2n-3)(2n+3) - (n+3)^2$ всегда делится на 3 при любом натуральном $n$.

Вопрос задачи — существует ли такое натуральное $n$, при котором выражение не делилось бы нацело на 3. Наш анализ показывает, что такого $n$ не существует.

Ответ: не существует, так как при любом натуральном значении $n$ значение данного выражения делится нацело на 3.

1397.Решите уравнение:

1) $3(x - 7)^2 - 2(x + 7)(x - 2) = (x + 11)(x - 4) + 101;$

2) $2x(x + 3)^2 - 3x(x - 1)(x + 8) = x^2(-x - 9) + 21;$

3) $y(2y - 5)(2y + 5) - 4y(y + 6)^2 = 13 - 48y^2.$

1) Исходное уравнение: $3(x - 7)^2 - 2(x + 7)(x - 2) = (x + 11)(x - 4) + 101$.
Раскроем скобки в каждой части уравнения. Используем формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ и правило умножения многочленов.
$(x - 7)^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 7 + 7^2 = x^2 - 14x + 49$
$(x + 7)(x - 2) = x^2 - 2x + 7x - 14 = x^2 + 5x - 14$
$(x + 11)(x - 4) = x^2 - 4x + 11x - 44 = x^2 + 7x - 44$
Подставим раскрытые выражения обратно в уравнение:
$3(x^2 - 14x + 49) - 2(x^2 + 5x - 14) = (x^2 + 7x - 44) + 101$
Теперь умножим на коэффициенты перед скобками:
$3x^2 - 42x + 147 - (2x^2 + 10x - 28) = x^2 + 7x - 44 + 101$
$3x^2 - 42x + 147 - 2x^2 - 10x + 28 = x^2 + 7x + 57$
Приведем подобные слагаемые в левой и правой частях уравнения:
$(3x^2 - 2x^2) + (-42x - 10x) + (147 + 28) = x^2 + 7x + 57$
$x^2 - 52x + 175 = x^2 + 7x + 57$
Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения, чтобы приравнять его к нулю:
$x^2 - 52x + 175 - x^2 - 7x - 57 = 0$
Слагаемые с $x^2$ взаимно уничтожаются:
$(-52x - 7x) + (175 - 57) = 0$
$-59x + 118 = 0$
Перенесем 118 в правую часть:
$-59x = -118$
Найдем $x$:
$x = \frac{-118}{-59}$
$x = 2$
Ответ: $x=2$.

2) Исходное уравнение: $2x(x + 3)^2 - 3x(x - 1)(x + 8) = x^2(-x - 9) + 21$.
Раскроем скобки. Используем формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ и правило умножения многочленов.
$(x + 3)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 = x^2 + 6x + 9$
$(x - 1)(x + 8) = x^2 + 8x - x - 8 = x^2 + 7x - 8$
Подставим в уравнение:
$2x(x^2 + 6x + 9) - 3x(x^2 + 7x - 8) = -x^3 - 9x^2 + 21$
Раскроем оставшиеся скобки:
$(2x \cdot x^2 + 2x \cdot 6x + 2x \cdot 9) - (3x \cdot x^2 + 3x \cdot 7x - 3x \cdot 8) = -x^3 - 9x^2 + 21$
$(2x^3 + 12x^2 + 18x) - (3x^3 + 21x^2 - 24x) = -x^3 - 9x^2 + 21$
$2x^3 + 12x^2 + 18x - 3x^3 - 21x^2 + 24x = -x^3 - 9x^2 + 21$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$(2x^3 - 3x^3) + (12x^2 - 21x^2) + (18x + 24x) = -x^3 - 9x^2 + 21$
$-x^3 - 9x^2 + 42x = -x^3 - 9x^2 + 21$
Перенесем все слагаемые из правой части в левую:
$-x^3 - 9x^2 + 42x + x^3 + 9x^2 - 21 = 0$
Слагаемые с $x^3$ и $x^2$ взаимно уничтожаются:
$42x - 21 = 0$
Решим полученное линейное уравнение:
$42x = 21$
$x = \frac{21}{42} = \frac{1}{2}$
Ответ: $x = \frac{1}{2}$.

3) Исходное уравнение: $y(2y - 5)(2y + 5) - 4y(y + 6)^2 = 13 - 48y^2$.
Раскроем скобки. Используем формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ и формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
$(2y - 5)(2y + 5) = (2y)^2 - 5^2 = 4y^2 - 25$
$(y + 6)^2 = y^2 + 2 \cdot y \cdot 6 + 6^2 = y^2 + 12y + 36$
Подставим в уравнение:
$y(4y^2 - 25) - 4y(y^2 + 12y + 36) = 13 - 48y^2$
Раскроем оставшиеся скобки:
$(4y^3 - 25y) - (4y^3 + 48y^2 + 144y) = 13 - 48y^2$
$4y^3 - 25y - 4y^3 - 48y^2 - 144y = 13 - 48y^2$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$(4y^3 - 4y^3) - 48y^2 + (-25y - 144y) = 13 - 48y^2$
$-48y^2 - 169y = 13 - 48y^2$
Перенесем все слагаемые из правой части в левую:
$-48y^2 - 169y + 48y^2 - 13 = 0$
Слагаемые с $y^2$ взаимно уничтожаются:
$-169y - 13 = 0$
Решим полученное линейное уравнение:
$-169y = 13$
$y = \frac{13}{-169} = -\frac{1}{13}$
Ответ: $y = -\frac{1}{13}$.

1398. Представьте в виде квадрата двучлена выражение:

1) $(a + 4)^2 - 2(a + 4) + 1;$

2) $(3b + 2)^2 + 4(3b + 2) + 4;$

3) $(3y + 8)^2 + (4y + 6)^2 + 4y;$

4) $(x - 5y)^2 + (x + 12y)^2 - x(x - 12y).$

1) $(a + 4)^2 - 2(a + 4) + 1$

Для решения этой задачи воспользуемся формулой квадрата разности: $x^2 - 2xy + y^2 = (x - y)^2$.
В данном выражении можно заметить, что оно соответствует этой формуле, если сделать замену. Пусть $x = (a + 4)$ и $y = 1$.
Тогда выражение принимает вид:
$(a + 4)^2 - 2 \cdot (a + 4) \cdot 1 + 1^2$
Теперь свернем его по формуле квадрата разности:
$((a + 4) - 1)^2$
Упростим выражение в скобках:
$(a + 4 - 1)^2 = (a + 3)^2$
Ответ: $(a + 3)^2$

2) $(3b + 2)^2 + 4(3b + 2) + 4$

Здесь мы применим формулу квадрата суммы: $x^2 + 2xy + y^2 = (x + y)^2$.
Представим выражение в виде, который соответствует формуле. Заметим, что $4 = 2^2$, а $4(3b + 2) = 2 \cdot 2 \cdot (3b + 2)$.
Сделаем замену: пусть $x = (3b + 2)$ и $y = 2$.
Выражение принимает вид:
$(3b + 2)^2 + 2 \cdot (3b + 2) \cdot 2 + 2^2$
Свернем его по формуле квадрата суммы:
$((3b + 2) + 2)^2$
Упростим выражение в скобках:
$(3b + 2 + 2)^2 = (3b + 4)^2$
Ответ: $(3b + 4)^2$

3) $(3y + 8)^2 + (4y + 6)^2 + 4y$

В этом случае сначала раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
$(3y + 8)^2 = (3y)^2 + 2 \cdot 3y \cdot 8 + 8^2 = 9y^2 + 48y + 64$
$(4y + 6)^2 = (4y)^2 + 2 \cdot 4y \cdot 6 + 6^2 = 16y^2 + 48y + 36$
Теперь подставим раскрытые выражения обратно в исходное и приведем подобные слагаемые:
$(9y^2 + 48y + 64) + (16y^2 + 48y + 36) + 4y = $
$= (9y^2 + 16y^2) + (48y + 48y + 4y) + (64 + 36) = $
$= 25y^2 + 100y + 100$
Теперь нужно представить полученный трехчлен в виде квадрата двучлена. Вынесем общий множитель 25 за скобки:
$25(y^2 + 4y + 4)$
Выражение в скобках является полным квадратом: $y^2 + 4y + 4 = y^2 + 2 \cdot y \cdot 2 + 2^2 = (y + 2)^2$.
Получаем: $25(y + 2)^2$.
Так как $25 = 5^2$, мы можем записать все выражение как один квадрат:
$5^2(y + 2)^2 = (5(y + 2))^2 = (5y + 10)^2$
Ответ: $(5y + 10)^2$

4) $(x - 5y)^2 + (x + 12y)^2 - x(x - 12y)$

Раскроем все скобки в выражении. Для первых двух используем формулы квадрата разности и квадрата суммы, а для третьего — распределительный закон.
$(x - 5y)^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 5y + (5y)^2 = x^2 - 10xy + 25y^2$
$(x + 12y)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 12y + (12y)^2 = x^2 + 24xy + 144y^2$
$-x(x - 12y) = -x^2 + 12xy$
Теперь сложим все полученные выражения и приведем подобные слагаемые:
$(x^2 - 10xy + 25y^2) + (x^2 + 24xy + 144y^2) + (-x^2 + 12xy) = $
$= (x^2 + x^2 - x^2) + (-10xy + 24xy + 12xy) + (25y^2 + 144y^2) = $
$= x^2 + 26xy + 169y^2$
Полученный трехчлен является полным квадратом. Проверим это по формуле $a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$.
Первый член $x^2 = (x)^2$.
Третий член $169y^2 = (13y)^2$.
Удвоенное произведение первого и второго членов: $2 \cdot x \cdot 13y = 26xy$. Это совпадает со вторым членом нашего выражения.
Следовательно, выражение можно свернуть в квадрат суммы:
$x^2 + 26xy + 169y^2 = (x + 13y)^2$
Ответ: $(x + 13y)^2$

1399. Сумму какого одночлена и трёхчлена $4a^2 - 6ab + 9b^2$ можно разложить на множители по формуле квадрата двучлена? Найдите ещё три таких одночлена.

Чтобы сумму одночлена и трёхчлена $4a^2 - 6ab + 9b^2$ можно было разложить на множители по формуле квадрата двучлена, итоговое выражение должно быть полным квадратом, то есть соответствовать формуле $(x \pm y)^2 = x^2 \pm 2xy + y^2$.

Пусть искомый одночлен равен $M$. Тогда выражение $4a^2 - 6ab + 9b^2 + M$ должно стать полным квадратом. Существует несколько способов этого добиться, в зависимости от того, какой из членов исходного трёхчлена мы изменяем.

Рассмотрим случай, когда добавляемый одночлен $M$ изменяет средний член $-6ab$, а крайние члены $4a^2 = (2a)^2$ и $9b^2 = (3b)^2$ остаются квадратами слагаемых. Для того чтобы выражение стало полным квадратом, его средний член должен быть равен удвоенному произведению оснований, то есть $\pm 2 \cdot (2a) \cdot (3b) = \pm 12ab$.

Выберем вариант с квадратом разности: $(2a - 3b)^2 = 4a^2 - 12ab + 9b^2$.

Чтобы исходный трёхчлен $4a^2 - 6ab + 9b^2$ превратился в $4a^2 - 12ab + 9b^2$, нужно к нему прибавить такой одночлен $M$, что:

$(4a^2 - 6ab + 9b^2) + M = 4a^2 - 12ab + 9b^2$

Отсюда находим $M$:

$M = (4a^2 - 12ab + 9b^2) - (4a^2 - 6ab + 9b^2)$

$M = -12ab - (-6ab) = -12ab + 6ab = -6ab$

Проверка: $4a^2 - 6ab + 9b^2 + (-6ab) = 4a^2 - 12ab + 9b^2 = (2a - 3b)^2$.

Ответ: $-6ab$.

Существуют и другие одночлены, которые можно прибавить к исходному выражению, чтобы получить полный квадрат. Рассмотрим другие возможные случаи.

1. Первый одночлен (квадрат суммы).

Возьмем тот же случай, что и выше ($4a^2=(2a)^2$ и $9b^2=(3b)^2$), но получим квадрат суммы: $(2a + 3b)^2 = 4a^2 + 12ab + 9b^2$.

$(4a^2 - 6ab + 9b^2) + M_1 = 4a^2 + 12ab + 9b^2$

$M_1 = 12ab - (-6ab) = 18ab$.

2. Второй одночлен (изменяем член с $a^2$).

Предположим, что одночлен $M$ изменяет член $4a^2$, а члены $-6ab$ и $9b^2=(3b)^2$ являются частью полного квадрата. Полный квадрат будет вида $(x - 3b)^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot (3b) + (3b)^2 = x^2 - 6xb + 9b^2$.

Сравнивая член $-6xb$ с $-6ab$, находим, что $x=a$. Значит, мы стремимся получить трёхчлен $(a-3b)^2 = a^2 - 6ab + 9b^2$.

$(4a^2 + M_2) - 6ab + 9b^2 = a^2 - 6ab + 9b^2$

$4a^2 + M_2 = a^2 \implies M_2 = a^2 - 4a^2 = -3a^2$.

3. Третий одночлен (изменяем член с $b^2$).

Предположим, что одночлен $M$ изменяет член $9b^2$, а члены $4a^2=(2a)^2$ и $-6ab$ являются частью полного квадрата. Полный квадрат будет вида $(2a - y)^2 = (2a)^2 - 2 \cdot (2a) \cdot y + y^2 = 4a^2 - 4ay + y^2$.

Сравнивая член $-4ay$ с $-6ab$, находим $y = \frac{6ab}{4a} = \frac{3}{2}b$. Значит, мы стремимся получить трёхчлен $(2a - \frac{3}{2}b)^2 = 4a^2 - 6ab + (\frac{3}{2}b)^2 = 4a^2 - 6ab + \frac{9}{4}b^2$.

$4a^2 - 6ab + (9b^2 + M_3) = 4a^2 - 6ab + \frac{9}{4}b^2$

$9b^2 + M_3 = \frac{9}{4}b^2 \implies M_3 = \frac{9}{4}b^2 - 9b^2 = (\frac{9}{4} - \frac{36}{4})b^2 = -\frac{27}{4}b^2$.

Ответ: ещё три таких одночлена: $18ab$, $-3a^2$, $-\frac{27}{4}b^2$.

1400. Докажите, что не имеет корней уравнение:

1) $x^2 - 8x + 18 = 0$;

2) $x^2 + x + 1 = 0$.

1) $x^2 - 8x + 18 = 0$

Чтобы доказать, что квадратное уравнение не имеет действительных корней, необходимо вычислить его дискриминант. Уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$ не имеет корней, если его дискриминант $D = b^2 - 4ac$ меньше нуля ($D < 0$).
Для данного уравнения коэффициенты равны: $a=1$, $b=-8$, $c=18$.
Вычислим дискриминант:
$D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 18 = 64 - 72 = -8$.
Поскольку дискриминант $D = -8$, что меньше нуля, уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: Доказано, что уравнение не имеет корней, так как его дискриминант $D = -8 < 0$.

2) $x^2 + x + 1 = 0$

Аналогично, вычислим дискриминант для этого уравнения.
Коэффициенты уравнения: $a=1$, $b=1$, $c=1$.
Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3$.
Поскольку дискриминант $D = -3$, что меньше нуля, это уравнение также не имеет действительных корней.

Ответ: Доказано, что уравнение не имеет корней, так как его дискриминант $D = -3 < 0$.

1401. Разложите на множители:

1) $\frac{1}{64}a^8 - b^6;$

2) $a^3b^6c^9 + 8;$

3) $x^{21}y^{24} - m^{12}n^{15};$

4) $a^6b^6 + 1.$

1)

Данное выражение $\frac{1}{64}a^8 - b^6$ представляет собой разность квадратов, так как его можно записать в виде $A^2 - B^2$. Воспользуемся формулой разности квадратов: $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$.

Представим каждый член выражения в виде квадрата:

Первый член: $\frac{1}{64}a^8 = (\frac{1}{8}a^4)^2$.

Второй член: $b^6 = (b^3)^2$.

Таким образом, $A = \frac{1}{8}a^4$ и $B = b^3$.

Подставим эти значения в формулу разности квадратов:

$\frac{1}{64}a^8 - b^6 = (\frac{1}{8}a^4)^2 - (b^3)^2 = (\frac{1}{8}a^4 - b^3)(\frac{1}{8}a^4 + b^3)$.

Полученные множители нельзя разложить дальше с помощью стандартных формул.

Ответ: $(\frac{1}{8}a^4 - b^3)(\frac{1}{8}a^4 + b^3)$.

2)

Это выражение $a^3b^6c^9 + 8$ является суммой кубов, которую можно представить в виде $A^3 + B^3$. Применим формулу суммы кубов: $A^3 + B^3 = (A + B)(A^2 - AB + B^2)$.

Представим каждый член выражения в виде куба:

Первый член: $a^3b^6c^9 = a^3(b^2)^3(c^3)^3 = (ab^2c^3)^3$.

Второй член: $8 = 2^3$.

Следовательно, $A = ab^2c^3$ и $B = 2$.

Теперь подставим $A$ и $B$ в формулу суммы кубов:

Первый множитель: $(A + B) = (ab^2c^3 + 2)$.

Второй множитель: $(A^2 - AB + B^2) = ((ab^2c^3)^2 - (ab^2c^3)(2) + 2^2) = (a^2b^4c^6 - 2ab^2c^3 + 4)$.

Итоговое разложение: $a^3b^6c^9 + 8 = (ab^2c^3 + 2)(a^2b^4c^6 - 2ab^2c^3 + 4)$.

Ответ: $(ab^2c^3 + 2)(a^2b^4c^6 - 2ab^2c^3 + 4)$.

3)

Данное выражение $x^{21}y^{24} - m^{12}n^{15}$ является разностью кубов, так как все степени кратны 3. Его можно представить в виде $A^3 - B^3$. Используем формулу разности кубов: $A^3 - B^3 = (A - B)(A^2 + AB + B^2)$.

Представим каждый член выражения в виде куба:

Первый член: $x^{21}y^{24} = (x^7)^3(y^8)^3 = (x^7y^8)^3$.

Второй член: $m^{12}n^{15} = (m^4)^3(n^5)^3 = (m^4n^5)^3$.

Таким образом, $A = x^7y^8$ и $B = m^4n^5$.

Подставим эти значения в формулу разности кубов:

Первый множитель: $(A - B) = (x^7y^8 - m^4n^5)$.

Второй множитель: $(A^2 + AB + B^2) = ((x^7y^8)^2 + (x^7y^8)(m^4n^5) + (m^4n^5)^2) = (x^{14}y^{16} + x^7y^8m^4n^5 + m^8n^{10})$.

В результате получаем разложение: $x^{21}y^{24} - m^{12}n^{15} = (x^7y^8 - m^4n^5)(x^{14}y^{16} + x^7y^8m^4n^5 + m^8n^{10})$.

Ответ: $(x^7y^8 - m^4n^5)(x^{14}y^{16} + x^7y^8m^4n^5 + m^8n^{10})$.

4)

Это выражение $a^6b^6 + 1$ можно представить как сумму кубов, так как $a^6b^6 = (ab)^6 = ((ab)^2)^3$. Воспользуемся формулой суммы кубов: $A^3 + B^3 = (A + B)(A^2 - AB + B^2)$.

Представим выражение в виде суммы кубов:

$a^6b^6 + 1 = (a^2b^2)^3 + 1^3$.

Здесь $A = a^2b^2$ и $B = 1$.

Подставим $A$ и $B$ в формулу:

Первый множитель: $(A + B) = (a^2b^2 + 1)$.

Второй множитель: $(A^2 - AB + B^2) = ((a^2b^2)^2 - (a^2b^2)(1) + 1^2) = (a^4b^4 - a^2b^2 + 1)$.

Таким образом, итоговое разложение на множители: $a^6b^6 + 1 = (a^2b^2 + 1)(a^4b^4 - a^2b^2 + 1)$.

Ответ: $(a^2b^2 + 1)(a^4b^4 - a^2b^2 + 1)$.

1402. На сколько значение выражения $27a^3 + 4 - (9a^2 - 3a + 1)(3a + 1)$ меньше числа 10?

Чтобы ответить на вопрос, сперва необходимо упростить данное выражение: $27a^3 + 4 - (9a^2 - 3a + 1)(3a + 1)$.

Обратим внимание на произведение в скобках: $(9a^2 - 3a + 1)(3a + 1)$. Оно соответствует формуле сокращенного умножения для суммы кубов: $(x^2 - xy + y^2)(x + y) = x^3 + y^3$.

В нашем случае, пусть $x = 3a$ и $y = 1$. Тогда:

• $x^2 = (3a)^2 = 9a^2$
• $xy = 3a \cdot 1 = 3a$
• $y^2 = 1^2 = 1$

Таким образом, произведение $(9a^2 - 3a + 1)(3a + 1)$ можно представить как сумму кубов:

$(9a^2 - 3a + 1)(3a + 1) = (3a)^3 + 1^3 = 27a^3 + 1$.

Теперь подставим это упрощенное выражение обратно в исходное:

$27a^3 + 4 - (27a^3 + 1)$.

Раскроем скобки, учитывая знак минус перед ними:

$27a^3 + 4 - 27a^3 - 1$.

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(27a^3 - 27a^3) + (4 - 1) = 0 + 3 = 3$.

Мы получили, что значение выражения постоянно и равно 3, независимо от значения переменной $a$.

Теперь найдем, на сколько это значение меньше числа 10. Для этого вычтем значение выражения из 10:

$10 - 3 = 7$.

Ответ: на 7.

1403. Решите уравнение:

1) $(x - 2)(x^2 + 2x + 4) = x^3 + 24x,$

2) $(3 - 2x)(9 + 6x + 4x^2) - 2x(5 - 2x)(5 + 2x) = 7.$

1) $(x - 2)(x^2 + 2x + 4) = x^3 + 24x$

Левая часть уравнения представляет собой формулу сокращенного умножения "разность кубов": $(a - b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 - b^3$.

В данном случае $a = x$ и $b = 2$. Применим эту формулу:

$(x - 2)(x^2 + 2 \cdot x + 2^2) = x^3 - 2^3 = x^3 - 8$

Теперь подставим это выражение в исходное уравнение:

$x^3 - 8 = x^3 + 24x$

Вычтем $x^3$ из обеих частей уравнения:

$-8 = 24x$

Чтобы найти $x$, разделим обе части на 24:

$x = \frac{-8}{24}$

Сократим дробь:

$x = -\frac{1}{3}$

Ответ: $-\frac{1}{3}$

2) $(3 - 2x)(9 + 6x + 4x^2) - 2x(5 - 2x)(5 + 2x) = 7$

Рассмотрим левую часть уравнения по частям. Первое слагаемое $(3 - 2x)(9 + 6x + 4x^2)$ является формулой "разность кубов", где $a = 3$ и $b = 2x$:

$(3 - 2x)(3^2 + 3 \cdot 2x + (2x)^2) = 3^3 - (2x)^3 = 27 - 8x^3$

Выражение $(5 - 2x)(5 + 2x)$ во втором слагаемом является формулой "разность квадратов": $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$, где $a = 5$ и $b = 2x$:

$(5 - 2x)(5 + 2x) = 5^2 - (2x)^2 = 25 - 4x^2$

Теперь подставим это во второе слагаемое исходного уравнения:

$-2x(25 - 4x^2) = -2x \cdot 25 - 2x \cdot (-4x^2) = -50x + 8x^3$

Теперь соберем все в исходное уравнение:

$(27 - 8x^3) + (-50x + 8x^3) = 7$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$27 - 8x^3 - 50x + 8x^3 = 7$

Слагаемые $-8x^3$ и $8x^3$ взаимно уничтожаются:

$27 - 50x = 7$

Перенесем 27 в правую часть уравнения, изменив знак:

$-50x = 7 - 27$

$-50x = -20$

Найдем $x$, разделив обе части на -50:

$x = \frac{-20}{-50} = \frac{20}{50} = \frac{2}{5} = 0.4$

Ответ: $0.4$

1404. Делится ли значение выражения $37^3 + 23^3$ нацело на 60?

Чтобы ответить на вопрос, делится ли значение выражения $37^3 + 23^3$ нацело на 60, воспользуемся формулой сокращенного умножения для суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$.

Применим эту формулу к нашему выражению, где $a = 37$ и $b = 23$:

$37^3 + 23^3 = (37 + 23)(37^2 - 37 \cdot 23 + 23^2)$

Найдем значение первого множителя (суммы в первых скобках):

$37 + 23 = 60$

Теперь мы можем переписать исходное выражение следующим образом:

$37^3 + 23^3 = 60 \cdot (37^2 - 37 \cdot 23 + 23^2)$

Выражение во вторых скобках $(37^2 - 37 \cdot 23 + 23^2)$ является целым числом, так как все операции (возведение в степень, умножение, вычитание, сложение) производятся над целыми числами.

Поскольку исходное выражение можно представить как произведение числа 60 и некоторого целого числа, то оно гарантированно делится на 60 без остатка.

Ответ: да, значение выражения $37^3 + 23^3$ делится нацело на 60.

1405. Делится ли значение выражения $654^3 - 554^3$ нацело на 200?

Чтобы ответить на вопрос, делится ли значение выражения $654^3 - 554^3$ нацело на 200, воспользуемся формулой сокращенного умножения для разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.

Применим эту формулу к нашему выражению, где $a = 654$ и $b = 554$:

$654^3 - 554^3 = (654 - 554)(654^2 + 654 \cdot 554 + 554^2)$

Сначала вычислим значение первого множителя (разность чисел в скобках):

$654 - 554 = 100$

Теперь выражение принимает вид:

$100 \cdot (654^2 + 654 \cdot 554 + 554^2)$

Для того чтобы это выражение делилось на 200, оно должно быть кратно 200. Мы можем представить 200 как $100 \cdot 2$. Наше выражение уже содержит множитель 100. Следовательно, нам нужно доказать, что второй множитель, $(654^2 + 654 \cdot 554 + 554^2)$, является четным числом, то есть делится на 2.

Проанализируем четность каждого слагаемого во втором множителе:

1. Число 654 является четным. Квадрат четного числа всегда является четным. Значит, $654^2$ — четное число.

2. Произведение $654 \cdot 554$ является произведением двух четных чисел, что всегда дает в результате четное число.

3. Число 554 является четным. Квадрат этого числа, $554^2$, также является четным.

Сумма трех четных чисел ($(четное) + (четное) + (четное)$) всегда дает в результате четное число. Таким образом, выражение в скобках $(654^2 + 654 \cdot 554 + 554^2)$ делится на 2.

Это означает, что мы можем представить второй множитель как $2k$, где $k$ — некоторое целое число. Тогда все выражение равно $100 \cdot (2k) = 200k$.

Любое число вида $200k$ по определению делится нацело на 200.

Ответ: да, значение выражения делится нацело на 200.

1406. Разложите на множители:

1) $ (a - b)(a + b) - c(c - 2b); $

2) $ (b - c)(b + c) - a(a + 2c). $

1) Разложим на множители выражение $(a - b)(a + b) - c(c - 2b)$.

Сначала используем формулу разности квадратов для первого слагаемого $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$ и раскроем скобки во втором слагаемом:

$(a - b)(a + b) - c(c - 2b) = a^2 - b^2 - c(c - 2b) = a^2 - b^2 - c^2 + 2bc$.

Теперь перегруппируем полученные члены. Мы видим, что слагаемые $-b^2 - c^2 + 2bc$ можно сгруппировать, вынеся знак минус за скобки:

$a^2 + (-b^2 + 2bc - c^2) = a^2 - (b^2 - 2bc + c^2)$.

Выражение в скобках, $b^2 - 2bc + c^2$, является полным квадратом разности по формуле $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$. Таким образом, $b^2 - 2bc + c^2 = (b - c)^2$.

Подставим это обратно в наше выражение:

$a^2 - (b - c)^2$.

Мы получили новую разность квадратов, которую можно разложить на множители по формуле $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$, где $x = a$ и $y = (b - c)$.

$a^2 - (b - c)^2 = (a - (b - c))(a + (b - c))$.

Наконец, раскроем внутренние скобки, чтобы получить окончательный ответ:

$(a - b + c)(a + b - c)$.

Ответ: $(a - b + c)(a + b - c)$.

2) Разложим на множители выражение $(b - c)(b + c) - a(a + 2c)$.

Как и в предыдущем примере, начнем с применения формулы разности квадратов и раскрытия скобок:

$(b - c)(b + c) - a(a + 2c) = b^2 - c^2 - (a^2 + 2ac) = b^2 - c^2 - a^2 - 2ac$.

Перегруппируем слагаемые, чтобы выделить полный квадрат. Сгруппируем члены, содержащие $a$ и $c$:

$b^2 - (a^2 + 2ac + c^2)$.

Выражение в скобках, $a^2 + 2ac + c^2$, является полным квадратом суммы по формуле $(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$. Таким образом, $a^2 + 2ac + c^2 = (a + c)^2$.

Подставим это в наше выражение:

$b^2 - (a + c)^2$.

Это выражение также является разностью квадратов. Применим формулу $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$, где $x = b$ и $y = (a + c)$.

$b^2 - (a + c)^2 = (b - (a + c))(b + (a + c))$.

Раскроем внутренние скобки для получения конечного результата:

$(b - a - c)(b + a + c)$.

Ответ: $(b - a - c)(b + a + c)$.

1407. Из следующих четырёх выражений только три можно разложить на множители. Найдите эти выражения и разложите их на множители:

1) $9mx - 6nx + 6my - 4ny$;

2) $36x^2 - 24x + 4 - y^2$;

3) $x^2 - 4x + y^2 + 2y + 5$;

4) $4a + 3 + a^2 + 2b - b^2$.

1) $9mx - 6nx + 6my - 4ny$
Для разложения на множители данного выражения применим метод группировки. Сгруппируем первое и второе слагаемые, а также третье и четвертое:
$(9mx - 6nx) + (6my - 4ny)$
В первой группе вынесем за скобки общий множитель $3x$, а во второй — $2y$:
$3x(3m - 2n) + 2y(3m - 2n)$
Теперь можно вынести за скобку общий множитель $(3m - 2n)$:
$(3x + 2y)(3m - 2n)$
Ответ: $(3x + 2y)(3m - 2n)$.

2) $36x^2 - 24x + 4 - y^2$
Заметим, что первые три слагаемых $36x^2 - 24x + 4$ образуют полный квадрат разности. Воспользуемся формулой квадрата разности $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$:
$36x^2 - 24x + 4 = (6x)^2 - 2 \cdot 6x \cdot 2 + 2^2 = (6x - 2)^2$
Теперь исходное выражение можно переписать в виде разности квадратов:
$(6x - 2)^2 - y^2$
Применим формулу $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$, где $A = 6x - 2$ и $B = y$:
$((6x - 2) - y)((6x - 2) + y) = (6x - y - 2)(6x + y - 2)$
Ответ: $(6x - y - 2)(6x + y - 2)$.

4) $4a + 3 + a^2 + 2b - b^2$
Перегруппируем слагаемые и представим число $3$ как $4 - 1$, чтобы выделить полные квадраты:
$(a^2 + 4a + 4) - (b^2 - 2b + 1)$
Первая скобка является полным квадратом суммы $(a+2)^2$, а вторая — полным квадратом разности $(b-1)^2$:
$(a + 2)^2 - (b - 1)^2$
Это разность квадратов. Применим формулу $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$, где $A = a + 2$ и $B = b - 1$:
$((a + 2) - (b - 1))((a + 2) + (b - 1)) = (a + 2 - b + 1)(a + 2 + b - 1) = (a - b + 3)(a + b + 1)$
Ответ: $(a - b + 3)(a + b + 1)$.

Выражение 3) $x^2 - 4x + y^2 + 2y + 5$ является тем, которое нельзя разложить на множители. Его можно преобразовать к виду $(x^2 - 4x + 4) + (y^2 + 2y + 1) = (x - 2)^2 + (y + 1)^2$. Полученное выражение является суммой квадратов и не раскладывается на множители с действительными коэффициентами.

1408. Представьте в виде произведения четырёх множителей выражение:

1) $a^5 - a^4 - 16a + 16;$

2) $a^{2n}b^{2n} - b^{2n} - a^{2n} + 1$, где $n$ – натуральное число.

1) Чтобы представить выражение $a^5 - a^4 - 16a + 16$ в виде произведения, воспользуемся методом группировки слагаемых.
Сгруппируем первое и второе слагаемые, а также третье и четвертое:
$(a^5 - a^4) - (16a - 16)$.
В первой группе вынесем за скобки общий множитель $a^4$, а во второй — $16$:
$a^4(a - 1) - 16(a - 1)$.
Теперь мы видим общий множитель $(a - 1)$, который также можно вынести за скобки:
$(a - 1)(a^4 - 16)$.
Выражение $a^4 - 16$ является разностью квадратов, так как его можно представить в виде $(a^2)^2 - 4^2$. Применим формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$:
$a^4 - 16 = (a^2 - 4)(a^2 + 4)$.
Таким образом, исходное выражение принимает вид:
$(a - 1)(a^2 - 4)(a^2 + 4)$.
Мы получили произведение трех множителей. Однако множитель $a^2 - 4$ также является разностью квадратов: $a^2 - 2^2$. Разложим и его:
$a^2 - 4 = (a - 2)(a + 2)$.
Подставив это разложение, мы получим произведение из четырех множителей:
$(a - 1)(a - 2)(a + 2)(a^2 + 4)$.
Ответ: $(a - 1)(a - 2)(a + 2)(a^2 + 4)$.

2) Чтобы представить выражение $a^{2n}b^{2n} - b^{2n} - a^{2n} + 1$ в виде произведения, также применим метод группировки.
Сгруппируем первое и второе слагаемые, а также третье и четвертое:
$(a^{2n}b^{2n} - b^{2n}) - (a^{2n} - 1)$.
В первой группе вынесем за скобки общий множитель $b^{2n}$:
$b^{2n}(a^{2n} - 1) - 1(a^{2n} - 1)$.
Вынесем общий множитель $(a^{2n} - 1)$ за скобки:
$(a^{2n} - 1)(b^{2n} - 1)$.
Теперь у нас есть произведение двух множителей. Каждый из них можно разложить дальше, так как они представляют собой разность квадратов.
Для первого множителя: $a^{2n} - 1 = (a^n)^2 - 1^2$. Применяем формулу разности квадратов:
$a^{2n} - 1 = (a^n - 1)(a^n + 1)$.
Для второго множителя: $b^{2n} - 1 = (b^n)^2 - 1^2$. Применяем ту же формулу:
$b^{2n} - 1 = (b^n - 1)(b^n + 1)$.
Подставим полученные разложения в выражение $(a^{2n} - 1)(b^{2n} - 1)$:
$(a^n - 1)(a^n + 1)(b^n - 1)(b^n + 1)$.
В результате мы представили исходное выражение в виде произведения четырёх множителей.
Ответ: $(a^n - 1)(a^n + 1)(b^n - 1)(b^n + 1)$.