Страница 257 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Какая из приведённых пар чисел является решением уравнения

$5x + 3y = 4?$

А) (2; 1)

Б) (1; 0)

В) (2; -2)

Г) (-1; 2)

Для того чтобы определить, какая из предложенных пар чисел является решением уравнения $5x + 3y = 4$, мы подставим значения $x$ (первое число в паре) и $y$ (второе число в паре) в данное уравнение для каждого варианта и проверим, выполняется ли равенство.

А) (2; 1)

Подставляем $x = 2$ и $y = 1$ в левую часть уравнения:

$5 \cdot 2 + 3 \cdot 1 = 10 + 3 = 13$

Поскольку $13 \neq 4$, данная пара чисел не является решением.

Ответ: не является решением.

Б) (1; 0)

Подставляем $x = 1$ и $y = 0$ в левую часть уравнения:

$5 \cdot 1 + 3 \cdot 0 = 5 + 0 = 5$

Поскольку $5 \neq 4$, данная пара чисел не является решением.

Ответ: не является решением.

В) (2; –2)

Подставляем $x = 2$ и $y = -2$ в левую часть уравнения:

$5 \cdot 2 + 3 \cdot (-2) = 10 - 6 = 4$

Поскольку $4 = 4$, равенство верно. Следовательно, данная пара чисел является решением.

Ответ: является решением.

Г) (–1; 2)

Подставляем $x = -1$ и $y = 2$ в левую часть уравнения:

$5 \cdot (-1) + 3 \cdot 2 = -5 + 6 = 1$

Поскольку $1 \neq 4$, данная пара чисел не является решением.

Ответ: не является решением.

2. Каковы координаты точки пересечения графика уравнения$2x - 5y = 10$ с осью абсцисс?

А) $(0; -2)$

Б) $(-2; 0)$

В) $(0; 5)$

Г) $(5; 0)$

Чтобы найти координаты точки пересечения графика уравнения с осью абсцисс (осью Ox), необходимо учесть, что у любой точки, лежащей на этой оси, координата y (ордината) равна нулю.

Нам дано уравнение: $2x - 5y = 10$.

Подставим в это уравнение значение $y = 0$, чтобы найти соответствующую координату x (абсциссу):

$2x - 5 \cdot 0 = 10$

Упростим полученное выражение:

$2x - 0 = 10$

$2x = 10$

Теперь решим уравнение относительно x, разделив обе части на 2:

$x = \frac{10}{2}$

$x = 5$

Таким образом, точка пересечения графика с осью абсцисс имеет абсциссу $x=5$ и ординату $y=0$. Координаты этой точки — $(5; 0)$.

Среди предложенных вариантов этот результат соответствует варианту Г).

Ответ: Г) (5; 0)

3. Решите систему уравнений $\begin{cases} 5x - 4y = 11, \\ 2x + 4y = 10. \end{cases}$

А) $(3; 1)$

Б) $(1; 3)$

В) $(1; 2)$

Г) $(2; 1)$

Для решения данной системы уравнений воспользуемся методом сложения, так как коэффициенты при переменной $y$ являются противоположными числами ($-4$ и $4$).

Исходная система:

$ \begin{cases} 5x - 4y = 11, \\ 2x + 4y = 10. \end{cases} $

Сложим левые и правые части уравнений системы почленно:

$(5x - 4y) + (2x + 4y) = 11 + 10$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$5x + 2x - 4y + 4y = 21$

$7x = 21$

Теперь найдем значение переменной $x$:

$x = \frac{21}{7}$

$x = 3$

Подставим найденное значение $x=3$ в любое из уравнений исходной системы для нахождения $y$. Удобнее использовать второе уравнение:

$2x + 4y = 10$

$2(3) + 4y = 10$

$6 + 4y = 10$

Перенесем 6 в правую часть уравнения, изменив знак:

$4y = 10 - 6$

$4y = 4$

Найдем значение $y$:

$y = \frac{4}{4}$

$y = 1$

Таким образом, решением системы является пара чисел $(3; 1)$. Проверим, соответствует ли это одному из предложенных вариантов. Данное решение совпадает с вариантом А.

Ответ: А) (3; 1)

4. Решите систему уравнений $\begin{cases}15x + 2y = 7,\\2x - y = 6.\end{cases}$

А) $(3; -19)$

Б) $(1; -4)$

В) $(-5; 41)$

Г) $(-1; 11)$

Для решения данной системы уравнений применим метод алгебраического сложения. Исходная система:

$ \begin{cases} 15x + 2y = 7, \\ 2x - y = 6. \end{cases} $

Чтобы исключить переменную $y$, умножим второе уравнение системы на 2. Это позволит нам получить уравнения с противоположными коэффициентами при $y$.

$2 \cdot (2x - y) = 2 \cdot 6$

$4x - 2y = 12$

Теперь наша система уравнений выглядит следующим образом:

$ \begin{cases} 15x + 2y = 7, \\ 4x - 2y = 12. \end{cases} $

Теперь сложим два уравнения системы почленно (левую часть с левой, правую с правой):

$(15x + 2y) + (4x - 2y) = 7 + 12$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$15x + 4x + 2y - 2y = 19$

$19x = 19$

Из этого уравнения находим значение переменной $x$:

$x = \frac{19}{19}$

$x = 1$

Подставим найденное значение $x = 1$ в любое из уравнений исходной системы, чтобы найти $y$. Проще всего это сделать, используя второе уравнение $2x - y = 6$:

$2(1) - y = 6$

$2 - y = 6$

$-y = 6 - 2$

$-y = 4$

$y = -4$

Таким образом, решением системы является пара чисел $(1; -4)$.

Для уверенности выполним проверку, подставив найденные значения $x=1$ и $y=-4$ в оба исходных уравнения:

1) $15(1) + 2(-4) = 15 - 8 = 7$. Равенство $7 = 7$ верно.

2) $2(1) - (-4) = 2 + 4 = 6$. Равенство $6 = 6$ верно.

Оба равенства верны, значит, система решена правильно. Найденное решение $(1; -4)$ соответствует варианту ответа Б.

Ответ: $(1; -4)$.

5. Пусть пара чисел $(a; b)$ является решением системы уравнений

$$\begin{cases} x + y = 1, \\ 3x - y = 7. \end{cases}$$

Найдите значение выражения $a^2 - b^2$.

А) 5

Б) -5

В) 3

Г) -3

По условию, пара чисел $(a; b)$ является решением системы уравнений. Это значит, что для нахождения значений $a$ и $b$ нам необходимо решить данную систему относительно $x$ и $y$, где $a=x$ и $b=y$.

Исходная система уравнений: $$ \begin{cases} x + y = 1 \\ 3x - y = 7 \end{cases} $$

Для решения системы применим метод сложения, так как коэффициенты при переменной $y$ являются противоположными числами. Сложим левые и правые части обоих уравнений: $$ (x + y) + (3x - y) = 1 + 7 $$ $$ 4x = 8 $$ Отсюда находим $x$: $$ x = \frac{8}{4} = 2 $$

Теперь подставим найденное значение $x=2$ в первое уравнение системы $x+y=1$, чтобы найти $y$: $$ 2 + y = 1 $$ $$ y = 1 - 2 = -1 $$

Таким образом, решение системы — это пара чисел $(2; -1)$. Соответственно, $a=2$ и $b=-1$.

Наконец, вычислим значение выражения $a^2 - b^2$: $$ a^2 - b^2 = (2)^2 - (-1)^2 = 4 - 1 = 3 $$

Ответ: 3.

6. При каком значении a система уравнений

$ \begin{cases} 3x + y = 4, \\ x - ay = -6 \end{cases} $

не имеет решений?

А) 3

Б) -3

В) $ \frac{1}{3} $

Г) $ -\frac{1}{3} $

Система двух линейных уравнений с двумя переменными вида

$ \begin{cases} A_1x + B_1y = C_1 \\ A_2x + B_2y = C_2 \end{cases} $

не имеет решений в том и только в том случае, когда графики уравнений являются параллельными, но не совпадающими прямыми. Алгебраически это условие выражается как пропорциональность коэффициентов при переменных и их непропорциональность свободным членам:

$ \frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} \neq \frac{C_1}{C_2} $

Рассмотрим данную в задаче систему уравнений:

$ \begin{cases} 3x + y = 4 \\ x - ay = -6 \end{cases} $

Коэффициенты в этой системе следующие:

$A_1 = 3$, $B_1 = 1$, $C_1 = 4$

$A_2 = 1$, $B_2 = -a$, $C_2 = -6$

Чтобы система не имела решений, должно выполняться равенство отношений коэффициентов при $x$ и $y$. Запишем это равенство:

$ \frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} $

Подставим значения коэффициентов из нашей системы:

$ \frac{3}{1} = \frac{1}{-a} $

Теперь решим это уравнение относительно параметра $a$:

$ 3 = -\frac{1}{a} $

Умножим обе части на $a$ (при условии, что $a \neq 0$):

$ 3a = -1 $

$ a = -\frac{1}{3} $

Далее необходимо убедиться, что при найденном значении $a$ отношение коэффициентов не равно отношению свободных членов. Проверим неравенство:

$ \frac{B_1}{B_2} \neq \frac{C_1}{C_2} $

Вычислим левую часть при $a = -\frac{1}{3}$:

$ \frac{1}{-a} = \frac{1}{-(-\frac{1}{3})} = \frac{1}{\frac{1}{3}} = 3 $

Вычислим правую часть:

$ \frac{C_1}{C_2} = \frac{4}{-6} = -\frac{2}{3} $

Так как $3 \neq -\frac{2}{3}$, условие выполняется. Следовательно, система не имеет решений именно при $a = -\frac{1}{3}$.

Ответ: Г) $-\frac{1}{3}$

7. При каком значении $b$ система уравнений

$$\begin{cases} 4x + by = 10, \\ 2x - 3y = 5 \end{cases}$$

имеет бесконечно много решений?

А) -6

Б) 6

В) 3

Г) такого значения не существует

Для того чтобы система линейных уравнений$$\begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases}$$имела бесконечно много решений, необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты при соответствующих переменных и свободные члены были пропорциональны. Это означает, что должно выполняться следующее условие:$$\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$$

Рассмотрим данную в задаче систему уравнений:$$\begin{cases} 4x + by = 10 \\ 2x - 3y = 5 \end{cases}$$Здесь коэффициенты равны:
$a_1 = 4$, $b_1 = b$, $c_1 = 10$
$a_2 = 2$, $b_2 = -3$, $c_2 = 5$

Подставим эти значения в условие пропорциональности:$$\frac{4}{2} = \frac{b}{-3} = \frac{10}{5}$$

Вычислим значения известных отношений:$$\frac{4}{2} = 2$$$$\frac{10}{5} = 2$$

Таким образом, наше равенство принимает вид:$$2 = \frac{b}{-3} = 2$$Чтобы это равенство было верным, необходимо, чтобы центральное отношение также было равно 2. Составим и решим уравнение для $b$:$$\frac{b}{-3} = 2$$Умножим обе части уравнения на -3:$$b = 2 \cdot (-3)$$$$b = -6$$

Следовательно, при $b = -6$ система будет иметь бесконечно много решений. Проверим: если подставить $b=-6$ в первое уравнение, получим $4x - 6y = 10$. Если разделить это уравнение на 2, получим $2x - 3y = 5$, что в точности совпадает со вторым уравнением системы. Это означает, что уравнения эквивалентны и описывают одну и ту же прямую, а значит, система имеет бесконечное множество решений.

Ответ: -6

8. График линейной функции проходит через точки A (1; 4) и B (-2; 13). Задайте эту функцию формулой.

А) $y = 3x + 1$

Б) $y = -3x + 7$

В) $y = -3x + 1$

Г) $y = 3x + 7$

Для нахождения формулы линейной функции вида $y = kx + b$ необходимо определить значения коэффициентов $k$ и $b$.

Известно, что график функции проходит через две точки: A(1; 4) и B(-2; 13). Это означает, что координаты каждой из этих точек удовлетворяют уравнению прямой. Подставим координаты точек в общее уравнение линейной функции и составим систему уравнений.

1. Для точки A(1; 4) подставляем $x=1$ и $y=4$:

$4 = k \cdot 1 + b$

$k + b = 4$

2. Для точки B(-2; 13) подставляем $x=-2$ и $y=13$:

$13 = k \cdot (-2) + b$

$-2k + b = 13$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя переменными:

$\begin{cases} k + b = 4 \\ -2k + b = 13 \end{cases}$

Для решения системы вычтем второе уравнение из первого, чтобы исключить переменную $b$:

$(k + b) - (-2k + b) = 4 - 13$

$k + b + 2k - b = -9$

$3k = -9$

Отсюда находим значение коэффициента $k$:

$k = \frac{-9}{3} = -3$

Теперь подставим найденное значение $k = -3$ в первое уравнение системы ($k + b = 4$), чтобы найти $b$:

$-3 + b = 4$

$b = 4 + 3$

$b = 7$

Таким образом, искомая формула линейной функции: $y = -3x + 7$.

Этот результат соответствует варианту ответа Б.

Ответ: Б