Страница 251 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

1300. За 6 кг конфет и 5 кг печенья заплатили 5760 р. Сколько стоит 1 кг конфет и сколько 1 кг печенья, если 3 кг конфет дороже 1 кг печенья на 1200 р.?

Для решения этой задачи составим систему уравнений. Пусть $x$ — это стоимость 1 кг конфет в рублях, а $y$ — это стоимость 1 кг печенья в рублях.

Из первого условия, что за 6 кг конфет и 5 кг печенья заплатили 5760 рублей, получаем первое уравнение:
$6x + 5y = 5760$

Из второго условия, что 3 кг конфет дороже 1 кг печенья на 1200 рублей, получаем второе уравнение:
$3x = y + 1200$

Теперь у нас есть система из двух уравнений:
$ \begin{cases} 6x + 5y = 5760 \\ 3x - y = 1200 \end{cases} $

Для решения системы удобно использовать метод подстановки. Выразим $y$ из второго уравнения:
$y = 3x - 1200$

Подставим это выражение вместо $y$ в первое уравнение:
$6x + 5(3x - 1200) = 5760$

Теперь решим полученное уравнение относительно $x$:
$6x + 15x - 6000 = 5760$
$21x = 5760 + 6000$
$21x = 11760$
$x = \frac{11760}{21}$
$x = 560$

Таким образом, цена 1 кг конфет составляет 560 рублей.

Чтобы найти цену 1 кг печенья, подставим найденное значение $x$ в выражение для $y$:
$y = 3 \cdot 560 - 1200$
$y = 1680 - 1200$
$y = 480$

Цена 1 кг печенья составляет 480 рублей.

Ответ: 1 кг конфет стоит 560 рублей, а 1 кг печенья — 480 рублей.

1301. За 7 тетрадей и 4 ручки заплатили 736 р. Сколько стоит 1 тетрадь и сколько 1 ручка, если 3 тетради дороже, чем 2 ручки, на 48 р.?

Для решения задачи введем переменные и составим систему уравнений. Пусть $x$ — это цена одной тетради в рублях, а $y$ — цена одной ручки в рублях.

Составление системы уравнений

Исходя из первого условия, "За 7 тетрадей и 4 ручки заплатили 736 р.", мы можем составить первое уравнение:

$7x + 4y = 736$

Из второго условия, "3 тетради дороже, чем 2 ручки, на 48 р.", следует, что разница между стоимостью трех тетрадей и двух ручек составляет 48 рублей. Это дает нам второе уравнение:

$3x - 2y = 48$

Решение системы уравнений

Мы получили систему из двух линейных уравнений:

$$\begin{cases}7x + 4y = 736 \\3x - 2y = 48\end{cases}$$

Удобно использовать метод алгебраического сложения. Для этого умножим второе уравнение на 2, чтобы коэффициенты при переменной $y$ стали противоположными:

$2 \cdot (3x - 2y) = 2 \cdot 48$

$6x - 4y = 96$

Теперь сложим почленно первое уравнение ($7x + 4y = 736$) и полученное новое уравнение ($6x - 4y = 96$):

$(7x + 4y) + (6x - 4y) = 736 + 96$

$13x = 832$

Теперь найдем значение $x$, разделив 832 на 13:

$x = \frac{832}{13}$

$x = 64$

Таким образом, цена одной тетради составляет 64 рубля.

Нахождение цены ручки

Теперь, когда мы знаем цену тетради, подставим значение $x = 64$ в любое из исходных уравнений. Возьмем второе уравнение $3x - 2y = 48$:

$3 \cdot 64 - 2y = 48$

$192 - 2y = 48$

Перенесем 192 в правую часть уравнения, чтобы выразить $2y$:

$2y = 192 - 48$

$2y = 144$

Теперь найдем $y$:

$y = \frac{144}{2}$

$y = 72$

Следовательно, цена одной ручки составляет 72 рубля.

Проверка

1. Проверим общую стоимость: $7 \text{ тетрадей} \cdot 64 \text{ р.} + 4 \text{ ручки} \cdot 72 \text{ р.} = 448 + 288 = 736$ р. Это соответствует условию.

2. Проверим разницу в цене: $3 \text{ тетради} \cdot 64 \text{ р.} - 2 \text{ ручки} \cdot 72 \text{ р.} = 192 - 144 = 48$ р. Это также соответствует условию.

Решение найдено верно.

Ответ: 1 тетрадь стоит 64 рубля, 1 ручка стоит 72 рубля.

1302.Из Брянска и Смоленска, расстояние между которыми 256 км, выезжали одновременно навстречу друг другу автобус и автомобиль и встретились через 2 ч после начала движения. Найдите скорость каждого из них, если автобус за 2 ч проезжает на 46 км больше, чем автомобиль за 1 ч.

Для решения этой задачи введем переменные и составим систему уравнений. Пусть $v_б$ — это скорость автобуса в км/ч, а $v_а$ — это скорость автомобиля в км/ч.

Из условия известно, что автобус и автомобиль выехали одновременно навстречу друг другу и встретились через 2 часа. Общее расстояние между городами составляет 256 км. При движении навстречу скорость сближения равна сумме скоростей. Таким образом, можно составить первое уравнение, используя формулу пути $S = v \cdot t$:

$(v_б + v_а) \cdot 2 = 256$

Разделив обе части уравнения на 2, получим простое уравнение:

$v_б + v_а = 128$

Второе условие гласит, что автобус за 2 часа проезжает на 46 км больше, чем автомобиль за 1 час. Расстояние, которое проезжает автобус за 2 часа, равно $2 \cdot v_б$. Расстояние, которое проезжает автомобиль за 1 час, равно $1 \cdot v_а$. На основе этого составим второе уравнение:

$2v_б = v_а + 46$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} v_б + v_а = 128 \\ 2v_б - v_а = 46 \end{cases}$

Для решения этой системы удобно использовать метод алгебраического сложения. Сложим левые и правые части обоих уравнений:

$(v_б + v_а) + (2v_б - v_а) = 128 + 46$

$3v_б = 174$

Отсюда находим скорость автобуса:

$v_б = \frac{174}{3} = 58$ км/ч.

Зная скорость автобуса, найдем скорость автомобиля, подставив значение $v_б$ в первое уравнение системы ($v_б + v_а = 128$):

$58 + v_а = 128$

$v_а = 128 - 58 = 70$ км/ч.

Таким образом, скорость автобуса составляет 58 км/ч, а скорость автомобиля – 70 км/ч.

Проверка:

1. Общее расстояние, пройденное за 2 часа: $(58 \text{ км/ч} + 70 \text{ км/ч}) \cdot 2 \text{ ч} = 128 \text{ км/ч} \cdot 2 \text{ ч} = 256 \text{ км}$. Условие выполняется.
2. Расстояние автобуса за 2 часа: $58 \text{ км/ч} \cdot 2 \text{ ч} = 116 \text{ км}$. Расстояние автомобиля за 1 час: $70 \text{ км/ч} \cdot 1 \text{ ч} = 70 \text{ км}$. Разница: $116 \text{ км} - 70 \text{ км} = 46 \text{ км}$. Условие выполняется.

Ответ: скорость автобуса – 58 км/ч, скорость автомобиля – 70 км/ч.

1303. С двух станций, расстояние между которыми 300 км, одновременно навстречу друг другу отправились пассажирский и товарный поезда, которые встретились через 3 ч после начала движения. Если бы пассажирский поезд вышел на 1 ч раньше, чем товарный, то они встретились бы через 2,4 ч после выхода товарного поезда. Найдите скорость каждого поезда.

Для решения этой задачи введем переменные и составим систему уравнений.

Пусть $v_п$ — скорость пассажирского поезда (в км/ч), а $v_т$ — скорость товарного поезда (в км/ч).

Анализ первого условия

Поезда отправляются одновременно навстречу друг другу с расстояния 300 км и встречаются через 3 часа. При движении навстречу их скорости складываются. Скорость сближения равна $v_п + v_т$. За 3 часа они вместе проходят все расстояние.

Составим первое уравнение на основе формулы $S = v \cdot t$:

$(v_п + v_т) \cdot 3 = 300$

Разделив обе части уравнения на 3, получим:

$v_п + v_т = 100$

Анализ второго условия

Пассажирский поезд вышел на 1 час раньше товарного. Они встретились через 2,4 часа после выхода товарного поезда. Это означает, что товарный поезд был в пути 2,4 часа, а пассажирский — на час дольше, то есть $2,4 + 1 = 3,4$ часа.

Расстояние, которое проехал пассажирский поезд до встречи: $S_п = v_п \cdot 3,4$.

Расстояние, которое проехал товарный поезд до встречи: $S_т = v_т \cdot 2,4$.

Сумма этих расстояний равна исходному расстоянию между станциями:

$S_п + S_т = 300$

Составим второе уравнение:

$3,4 v_п + 2,4 v_т = 300$

Решение системы уравнений

Мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя переменными:

$\begin{cases} v_п + v_т = 100 \\ 3,4 v_п + 2,4 v_т = 300 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $v_п$ через $v_т$:

$v_п = 100 - v_т$

Подставим это выражение во второе уравнение:

$3,4 (100 - v_т) + 2,4 v_т = 300$

Раскроем скобки и решим полученное уравнение:

$340 - 3,4 v_т + 2,4 v_т = 300$

$340 - v_т = 300$

$v_т = 340 - 300$

$v_т = 40$

Таким образом, скорость товарного поезда составляет 40 км/ч.

Теперь найдем скорость пассажирского поезда:

$v_п = 100 - v_т = 100 - 40 = 60$

Скорость пассажирского поезда составляет 60 км/ч.

Ответ: скорость пассажирского поезда — 60 км/ч, скорость товарного поезда — 40 км/ч.

1304.Из села на станцию вышел пешеход. Через 30 мин из этого села на станцию выехал велосипедист и догнал пешехода через 10 мин после выезда. Найдите скорость каждого из них, если за 3 ч пешеход проходит на 4 км больше, чем велосипедист проезжает за полчаса.

Для решения задачи введем переменные. Пусть $v_п$ — скорость пешехода в км/ч, а $v_в$ — скорость велосипедиста в км/ч.

Согласно условию, пешеход вышел из села на 30 минут раньше велосипедиста. Велосипедист догнал пешехода через 10 минут после своего выезда. Это означает, что к моменту встречи пешеход был в пути $30 + 10 = 40$ минут, а велосипедист — 10 минут.

Переведем время в часы для удобства расчетов:

Время движения пешехода: $t_п = 40 \text{ мин} = \frac{40}{60} \text{ ч} = \frac{2}{3} \text{ ч}$.

Время движения велосипедиста: $t_в = 10 \text{ мин} = \frac{10}{60} \text{ ч} = \frac{1}{6} \text{ ч}$.

К моменту встречи они преодолели одинаковое расстояние от села. Составим уравнение, используя формулу расстояния $S = v \cdot t$:

$v_п \cdot t_п = v_в \cdot t_в$

$v_п \cdot \frac{2}{3} = v_в \cdot \frac{1}{6}$

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на 6:

$6 \cdot v_п \cdot \frac{2}{3} = 6 \cdot v_в \cdot \frac{1}{6}$

$4v_п = v_в$

Это первое уравнение системы.

Второе условие задачи гласит, что за 3 часа пешеход проходит на 4 км больше, чем велосипедист проезжает за полчаса (0,5 часа). Запишем это в виде уравнения:

$3 \cdot v_п = 0.5 \cdot v_в + 4$

$3v_п = \frac{1}{2}v_в + 4$

Это второе уравнение системы.

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя переменными:

$\begin{cases} v_в = 4v_п \\ 3v_п = \frac{1}{2}v_в + 4 \end{cases}$

Подставим выражение для $v_в$ из первого уравнения во второе:

$3v_п = \frac{1}{2}(4v_п) + 4$

Решим полученное уравнение:

$3v_п = 2v_п + 4$

$3v_п - 2v_п = 4$

$v_п = 4$

Таким образом, скорость пешехода составляет 4 км/ч.

Теперь найдем скорость велосипедиста, используя первое уравнение $v_в = 4v_п$:

$v_в = 4 \cdot 4 = 16$

Скорость велосипедиста составляет 16 км/ч.

Ответ: скорость пешехода — 4 км/ч, скорость велосипедиста — 16 км/ч.

1305. Из Курска в Москву, расстояние между которыми 536 км, выехал автомобиль. Через 2,5 ч после начала движения первого автомобиля навстречу ему из Москвы выехал второй автомобиль, который встретился с первым через 2 ч после своего выезда. Найдите скорость каждого автомобиля, если первый за 2 ч проезжает на 69 км меньше, чем второй за 3 ч.

Для решения задачи введем переменные. Пусть $v_1$ (км/ч) — скорость первого автомобиля, который выехал из Курска, и $v_2$ (км/ч) — скорость второго автомобиля, который выехал из Москвы.

Составим систему уравнений на основе условий задачи.

Первый автомобиль до встречи был в пути $2,5$ часа до выезда второго, и еще $2$ часа после выезда второго, до самой встречи. Таким образом, общее время движения первого автомобиля составляет $2,5 + 2 = 4,5$ часа. Второй автомобиль был в пути $2$ часа.

За время своего движения первый автомобиль проехал расстояние $S_1 = 4,5 \cdot v_1$ км.

За время своего движения второй автомобиль проехал расстояние $S_2 = 2 \cdot v_2$ км.

Так как они двигались навстречу друг другу и встретились, суммарное пройденное ими расстояние равно расстоянию между городами, которое составляет 536 км. Это дает нам первое уравнение:

$4,5v_1 + 2v_2 = 536$

Второе условие задачи гласит, что первый автомобиль за 2 часа проезжает на 69 км меньше, чем второй за 3 часа. Расстояние, пройденное первым автомобилем за 2 часа, равно $2v_1$ км. Расстояние, пройденное вторым за 3 часа, равно $3v_2$ км. Составим второе уравнение на основе этого условия:

$2v_1 = 3v_2 - 69$

Приведем второе уравнение к стандартному виду:

$2v_1 - 3v_2 = -69$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений:

Для решения системы используем метод сложения. Умножим первое уравнение на 3, а второе на 2, чтобы коэффициенты при переменной $v_2$ стали противоположными по знаку:

Сложим два полученных уравнения:

$(13,5v_1 + 6v_2) + (4v_1 - 6v_2) = 1608 - 138$

$17,5v_1 = 1470$

Теперь найдем скорость первого автомобиля $v_1$:

$v_1 = \frac{1470}{17,5} = \frac{14700}{175} = 84$ км/ч.

Подставим найденное значение $v_1 = 84$ во второе уравнение исходной системы ($2v_1 - 3v_2 = -69$), чтобы найти скорость второго автомобиля $v_2$:

$2 \cdot 84 - 3v_2 = -69$

$168 - 3v_2 = -69$

$-3v_2 = -69 - 168$

$-3v_2 = -237$

$v_2 = \frac{-237}{-3} = 79$ км/ч.

Ответ: скорость первого автомобиля — 84 км/ч, скорость второго автомобиля — 79 км/ч.

1306. В двух бидонах было молоко. Если из первого бидона перелить во второй 10 л молока, то в обоих бидонах молока станет поровну. Если из второго бидона перелить в первый 20 л молока, то в первом станет в 2,5 раза больше молока, чем во втором. Сколько литров молока было в каждом бидоне?

Для решения задачи введем переменные. Пусть $x$ литров — это первоначальное количество молока в первом бидоне, а $y$ литров — первоначальное количество молока во втором бидоне.

Согласно первому условию, если из первого бидона перелить во второй 10 л молока, то в обоих бидонах его станет поровну. После переливания в первом бидоне останется $(x - 10)$ л, а во втором станет $(y + 10)$ л. Составим первое уравнение:

$x - 10 = y + 10$

Из этого уравнения можно выразить $x$ через $y$:

$x = y + 10 + 10$

$x = y + 20$

Согласно второму условию, если из второго бидона перелить в первый 20 л молока, то в первом станет в 2,5 раза больше молока, чем во втором. После этого переливания в первом бидоне станет $(x + 20)$ л, а во втором останется $(y - 20)$ л. Составим второе уравнение:

$x + 20 = 2.5 \cdot (y - 20)$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} x = y + 20 \\ x + 20 = 2.5(y - 20) \end{cases}$

Подставим выражение для $x$ из первого уравнения во второе, чтобы получить уравнение с одной переменной $y$:

$(y + 20) + 20 = 2.5(y - 20)$

Решим это уравнение:

$y + 40 = 2.5y - 50$

Перенесем все слагаемые с $y$ в правую часть, а числа — в левую:

$40 + 50 = 2.5y - y$

$90 = 1.5y$

Теперь найдем $y$:

$y = \frac{90}{1.5} = \frac{900}{15} = 60$

Итак, во втором бидоне изначально было 60 литров молока.

Теперь найдем количество молока в первом бидоне, используя ранее полученное выражение $x = y + 20$:

$x = 60 + 20$

$x = 80$

Таким образом, в первом бидоне изначально было 80 литров молока.

Выполним проверку:

1. Изначально: 80 л и 60 л. Переливаем 10 л из первого во второй. Становится: $80-10=70$ л и $60+10=70$ л. Верно.

2. Изначально: 80 л и 60 л. Переливаем 20 л из второго в первый. Становится: $80+20=100$ л и $60-20=40$ л. Проверяем отношение: $100 / 40 = 2.5$. Верно.

Ответ: в первом бидоне было 80 л молока, а во втором — 60 л.

1307. Когда в первый вагон электрички вошли 4 пассажира, а из второго вагона вышли 4 пассажира, то в обоих вагонах пассажиров стало поровну. Если бы в первый вагон вошли 2 пассажира, а во второй – 24 пассажира, то в первом вагоне стало бы в 2 раза меньше пассажиров, чем во втором. Сколько пассажиров было сначала в каждом вагоне?

Для решения задачи введем переменные. Пусть $x$ — это первоначальное количество пассажиров в первом вагоне, а $y$ — первоначальное количество пассажиров во втором вагоне.

Из первого условия задачи, согласно которому после того, как в первый вагон вошли 4 пассажира ($x+4$), а из второго вышли 4 пассажира ($y-4$), число пассажиров в них стало равным, получаем уравнение:
$x + 4 = y - 4$

Из второго условия, по которому, если бы в первый вагон вошли 2 пассажира ($x+2$), а во второй — 24 пассажира ($y+24$), то в первом вагоне стало бы в 2 раза меньше пассажиров, чем во втором, составляем второе уравнение:
$2 \cdot (x + 2) = y + 24$

Мы получили систему из двух уравнений с двумя переменными:
$\begin{cases} x + 4 = y - 4 \\ 2(x + 2) = y + 24 \end{cases}$

Для решения системы выразим переменную $y$ из первого уравнения:
$y = x + 4 + 4$
$y = x + 8$

Теперь подставим полученное выражение для $y$ во второе уравнение системы:
$2(x + 2) = (x + 8) + 24$

Решим это уравнение, чтобы найти $x$:
$2x + 4 = x + 32$
$2x - x = 32 - 4$
$x = 28$

Таким образом, мы нашли, что в первом вагоне изначально было 28 пассажиров.

Для нахождения количества пассажиров во втором вагоне подставим найденное значение $x$ в выражение для $y$:
$y = 28 + 8 = 36$

Следовательно, во втором вагоне изначально было 36 пассажиров.

Ответ: сначала в первом вагоне было 28 пассажиров, а во втором — 36 пассажиров.

1308.Моторная лодка за 3 ч движения против течения реки и 2,5 ч по течению проходит 98 км. Найдите собственную скорость лодки и скорость течения, если за 5 ч движения по течению она проходит на 36 км больше, чем за 4 ч против течения реки.

Для решения задачи введем переменные. Пусть собственная скорость лодки равна $x$ км/ч, а скорость течения реки — $y$ км/ч.

Тогда скорость лодки по течению реки составляет $(x + y)$ км/ч, а скорость лодки против течения реки — $(x - y)$ км/ч.

Согласно первому условию, за 3 часа движения против течения и 2,5 часа по течению лодка проходит 98 км. Расстояние вычисляется по формуле $S = v \cdot t$. Составим первое уравнение:
$3 \cdot (x - y) + 2,5 \cdot (x + y) = 98$

Согласно второму условию, за 5 часов движения по течению лодка проходит на 36 км больше, чем за 4 часа против течения. Составим второе уравнение:
$5 \cdot (x + y) = 4 \cdot (x - y) + 36$

Получим систему из двух уравнений с двумя переменными:
$\begin{cases} 3(x - y) + 2,5(x + y) = 98 \\ 5(x + y) = 4(x - y) + 36 \end{cases}$

Упростим каждое уравнение системы.
Первое уравнение:
$3x - 3y + 2,5x + 2,5y = 98$
$5,5x - 0,5y = 98$
Умножим обе части на 2, чтобы избавиться от десятичных дробей:
$11x - y = 196$

Второе уравнение:
$5x + 5y = 4x - 4y + 36$
$5x - 4x + 5y + 4y = 36$
$x + 9y = 36$

Теперь система имеет более простой вид:
$\begin{cases} 11x - y = 196 \\ x + 9y = 36 \end{cases}$

Решим систему методом подстановки. Выразим $y$ из первого уравнения:
$y = 11x - 196$

Подставим полученное выражение для $y$ во второе уравнение:
$x + 9(11x - 196) = 36$
$x + 99x - 1764 = 36$
$100x = 36 + 1764$
$100x = 1800$
$x = \frac{1800}{100}$
$x = 18$

Теперь найдем $y$, подставив значение $x=18$ в выражение для $y$:
$y = 11 \cdot 18 - 196$
$y = 198 - 196$
$y = 2$

Следовательно, собственная скорость лодки составляет 18 км/ч, а скорость течения реки — 2 км/ч.

Ответ: собственная скорость лодки — 18 км/ч, скорость течения — 2 км/ч.