Номер 1303, страница 251 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 31. Решение задач с помощью систем линейных уравнений. Глава 3. Системы линейных уравнений с двумя переменными - номер 1303, страница 251.

Условие.

1303. С двух станций, расстояние между которыми 300 км, одновременно навстречу друг другу отправились пассажирский и товарный поезда, которые встретились через 3 ч после начала движения. Если бы пассажирский поезд вышел на 1 ч раньше, чем товарный, то они встретились бы через 2,4 ч после выхода товарного поезда. Найдите скорость каждого поезда.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для решения этой задачи введем переменные и составим систему уравнений.

Пусть $v_п$ — скорость пассажирского поезда (в км/ч), а $v_т$ — скорость товарного поезда (в км/ч).

Анализ первого условия

Поезда отправляются одновременно навстречу друг другу с расстояния 300 км и встречаются через 3 часа. При движении навстречу их скорости складываются. Скорость сближения равна $v_п + v_т$. За 3 часа они вместе проходят все расстояние.

Составим первое уравнение на основе формулы $S = v \cdot t$:

$(v_п + v_т) \cdot 3 = 300$

Разделив обе части уравнения на 3, получим:

$v_п + v_т = 100$

Анализ второго условия

Пассажирский поезд вышел на 1 час раньше товарного. Они встретились через 2,4 часа после выхода товарного поезда. Это означает, что товарный поезд был в пути 2,4 часа, а пассажирский — на час дольше, то есть $2,4 + 1 = 3,4$ часа.

Расстояние, которое проехал пассажирский поезд до встречи: $S_п = v_п \cdot 3,4$.

Расстояние, которое проехал товарный поезд до встречи: $S_т = v_т \cdot 2,4$.

Сумма этих расстояний равна исходному расстоянию между станциями:

$S_п + S_т = 300$

Составим второе уравнение:

$3,4 v_п + 2,4 v_т = 300$

Решение системы уравнений

Мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя переменными:

$\begin{cases} v_п + v_т = 100 \\ 3,4 v_п + 2,4 v_т = 300 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $v_п$ через $v_т$:

$v_п = 100 - v_т$

Подставим это выражение во второе уравнение:

$3,4 (100 - v_т) + 2,4 v_т = 300$

Раскроем скобки и решим полученное уравнение:

$340 - 3,4 v_т + 2,4 v_т = 300$

$340 - v_т = 300$

$v_т = 340 - 300$

$v_т = 40$

Таким образом, скорость товарного поезда составляет 40 км/ч.

Теперь найдем скорость пассажирского поезда:

$v_п = 100 - v_т = 100 - 40 = 60$

Скорость пассажирского поезда составляет 60 км/ч.

Ответ: скорость пассажирского поезда — 60 км/ч, скорость товарного поезда — 40 км/ч.