Номер 1304, страница 251 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 31. Решение задач с помощью систем линейных уравнений. Глава 3. Системы линейных уравнений с двумя переменными - номер 1304, страница 251.

Условие.

1304.Из села на станцию вышел пешеход. Через 30 мин из этого села на станцию выехал велосипедист и догнал пешехода через 10 мин после выезда. Найдите скорость каждого из них, если за 3 ч пешеход проходит на 4 км больше, чем велосипедист проезжает за полчаса.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для решения задачи введем переменные. Пусть $v_п$ — скорость пешехода в км/ч, а $v_в$ — скорость велосипедиста в км/ч.

Согласно условию, пешеход вышел из села на 30 минут раньше велосипедиста. Велосипедист догнал пешехода через 10 минут после своего выезда. Это означает, что к моменту встречи пешеход был в пути $30 + 10 = 40$ минут, а велосипедист — 10 минут.

Переведем время в часы для удобства расчетов:

Время движения пешехода: $t_п = 40 \text{ мин} = \frac{40}{60} \text{ ч} = \frac{2}{3} \text{ ч}$.

Время движения велосипедиста: $t_в = 10 \text{ мин} = \frac{10}{60} \text{ ч} = \frac{1}{6} \text{ ч}$.

К моменту встречи они преодолели одинаковое расстояние от села. Составим уравнение, используя формулу расстояния $S = v \cdot t$:

$v_п \cdot t_п = v_в \cdot t_в$

$v_п \cdot \frac{2}{3} = v_в \cdot \frac{1}{6}$

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на 6:

$6 \cdot v_п \cdot \frac{2}{3} = 6 \cdot v_в \cdot \frac{1}{6}$

$4v_п = v_в$

Это первое уравнение системы.

Второе условие задачи гласит, что за 3 часа пешеход проходит на 4 км больше, чем велосипедист проезжает за полчаса (0,5 часа). Запишем это в виде уравнения:

$3 \cdot v_п = 0.5 \cdot v_в + 4$

$3v_п = \frac{1}{2}v_в + 4$

Это второе уравнение системы.

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя переменными:

$\begin{cases} v_в = 4v_п \\ 3v_п = \frac{1}{2}v_в + 4 \end{cases}$

Подставим выражение для $v_в$ из первого уравнения во второе:

$3v_п = \frac{1}{2}(4v_п) + 4$

Решим полученное уравнение:

$3v_п = 2v_п + 4$

$3v_п - 2v_п = 4$

$v_п = 4$

Таким образом, скорость пешехода составляет 4 км/ч.

Теперь найдем скорость велосипедиста, используя первое уравнение $v_в = 4v_п$:

$v_в = 4 \cdot 4 = 16$

Скорость велосипедиста составляет 16 км/ч.

Ответ: скорость пешехода — 4 км/ч, скорость велосипедиста — 16 км/ч.