Номер 1298, страница 250 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 31. Решение задач с помощью систем линейных уравнений. Глава 3. Системы линейных уравнений с двумя переменными - номер 1298, страница 250.

Условие.

1298. Двое рабочих изготовили 135 деталей. Первый работал 7 дней, а второй – 12 дней. Сколько деталей изготавливал ежедневно каждый рабочий, если первый за 3 дня сделал на 3 детали больше, чем второй за 4 дня?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для решения задачи введем переменные. Пусть $x$ — это количество деталей, которое изготавливал первый рабочий за один день, а $y$ — количество деталей, которое изготавливал второй рабочий за один день.

Согласно условию, двое рабочих вместе изготовили 135 деталей. Первый рабочий работал 7 дней, а второй — 12 дней. Таким образом, общее количество деталей, изготовленных первым рабочим, составляет $7x$, а вторым — $12y$. Мы можем составить первое уравнение:

$7x + 12y = 135$

Также в условии сказано, что первый рабочий за 3 дня сделал на 3 детали больше, чем второй за 4 дня. За 3 дня первый рабочий изготовил $3x$ деталей, а второй за 4 дня — $4y$ деталей. На основе этого составим второе уравнение:

$3x = 4y + 3$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений:

$\begin{cases} 7x + 12y = 135 \\ 3x - 4y = 3 \end{cases}$

Решим эту систему. Удобно использовать метод сложения. Для этого умножим второе уравнение на 3, чтобы коэффициенты при переменной $y$ стали противоположными по знаку:

$3 \cdot (3x - 4y) = 3 \cdot 3$

$9x - 12y = 9$

Теперь сложим полученное уравнение с первым уравнением системы:

$(7x + 12y) + (9x - 12y) = 135 + 9$

$16x = 144$

Отсюда находим $x$:

$x = \frac{144}{16}$

$x = 9$

Итак, первый рабочий изготавливал 9 деталей в день.

Подставим найденное значение $x=9$ во второе исходное уравнение ($3x - 4y = 3$), чтобы найти $y$:

$3(9) - 4y = 3$

$27 - 4y = 3$

$4y = 27 - 3$

$4y = 24$

$y = \frac{24}{4}$

$y = 6$

Следовательно, второй рабочий изготавливал 6 деталей в день.

Выполним проверку.
1. Общее количество деталей: $7 \cdot 9 + 12 \cdot 6 = 63 + 72 = 135$. Верно.
2. Сравнение производительности: первый за 3 дня изготовил $3 \cdot 9 = 27$ деталей; второй за 4 дня изготовил $4 \cdot 6 = 24$ детали. Разница: $27 - 24 = 3$ детали. Верно.

Ответ: первый рабочий изготавливал 9 деталей ежедневно, а второй рабочий — 6 деталей.