Номер 1302, страница 251 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 31. Решение задач с помощью систем линейных уравнений. Глава 3. Системы линейных уравнений с двумя переменными - номер 1302, страница 251.

Условие.

1302.Из Брянска и Смоленска, расстояние между которыми 256 км, выезжали одновременно навстречу друг другу автобус и автомобиль и встретились через 2 ч после начала движения. Найдите скорость каждого из них, если автобус за 2 ч проезжает на 46 км больше, чем автомобиль за 1 ч.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для решения этой задачи введем переменные и составим систему уравнений. Пусть $v_б$ — это скорость автобуса в км/ч, а $v_а$ — это скорость автомобиля в км/ч.

Из условия известно, что автобус и автомобиль выехали одновременно навстречу друг другу и встретились через 2 часа. Общее расстояние между городами составляет 256 км. При движении навстречу скорость сближения равна сумме скоростей. Таким образом, можно составить первое уравнение, используя формулу пути $S = v \cdot t$:

$(v_б + v_а) \cdot 2 = 256$

Разделив обе части уравнения на 2, получим простое уравнение:

$v_б + v_а = 128$

Второе условие гласит, что автобус за 2 часа проезжает на 46 км больше, чем автомобиль за 1 час. Расстояние, которое проезжает автобус за 2 часа, равно $2 \cdot v_б$. Расстояние, которое проезжает автомобиль за 1 час, равно $1 \cdot v_а$. На основе этого составим второе уравнение:

$2v_б = v_а + 46$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} v_б + v_а = 128 \\ 2v_б - v_а = 46 \end{cases}$

Для решения этой системы удобно использовать метод алгебраического сложения. Сложим левые и правые части обоих уравнений:

$(v_б + v_а) + (2v_б - v_а) = 128 + 46$

$3v_б = 174$

Отсюда находим скорость автобуса:

$v_б = \frac{174}{3} = 58$ км/ч.

Зная скорость автобуса, найдем скорость автомобиля, подставив значение $v_б$ в первое уравнение системы ($v_б + v_а = 128$):

$58 + v_а = 128$

$v_а = 128 - 58 = 70$ км/ч.

Таким образом, скорость автобуса составляет 58 км/ч, а скорость автомобиля – 70 км/ч.

Проверка:

1. Общее расстояние, пройденное за 2 часа: $(58 \text{ км/ч} + 70 \text{ км/ч}) \cdot 2 \text{ ч} = 128 \text{ км/ч} \cdot 2 \text{ ч} = 256 \text{ км}$. Условие выполняется.
2. Расстояние автобуса за 2 часа: $58 \text{ км/ч} \cdot 2 \text{ ч} = 116 \text{ км}$. Расстояние автомобиля за 1 час: $70 \text{ км/ч} \cdot 1 \text{ ч} = 70 \text{ км}$. Разница: $116 \text{ км} - 70 \text{ км} = 46 \text{ км}$. Условие выполняется.

Ответ: скорость автобуса – 58 км/ч, скорость автомобиля – 70 км/ч.