Номер 1305, страница 251 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 31. Решение задач с помощью систем линейных уравнений. Глава 3. Системы линейных уравнений с двумя переменными - номер 1305, страница 251.

Условие.

1305. Из Курска в Москву, расстояние между которыми 536 км, выехал автомобиль. Через 2,5 ч после начала движения первого автомобиля навстречу ему из Москвы выехал второй автомобиль, который встретился с первым через 2 ч после своего выезда. Найдите скорость каждого автомобиля, если первый за 2 ч проезжает на 69 км меньше, чем второй за 3 ч.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для решения задачи введем переменные. Пусть $v_1$ (км/ч) — скорость первого автомобиля, который выехал из Курска, и $v_2$ (км/ч) — скорость второго автомобиля, который выехал из Москвы.

Составим систему уравнений на основе условий задачи.

Первый автомобиль до встречи был в пути $2,5$ часа до выезда второго, и еще $2$ часа после выезда второго, до самой встречи. Таким образом, общее время движения первого автомобиля составляет $2,5 + 2 = 4,5$ часа. Второй автомобиль был в пути $2$ часа.

За время своего движения первый автомобиль проехал расстояние $S_1 = 4,5 \cdot v_1$ км.

За время своего движения второй автомобиль проехал расстояние $S_2 = 2 \cdot v_2$ км.

Так как они двигались навстречу друг другу и встретились, суммарное пройденное ими расстояние равно расстоянию между городами, которое составляет 536 км. Это дает нам первое уравнение:

$4,5v_1 + 2v_2 = 536$

Второе условие задачи гласит, что первый автомобиль за 2 часа проезжает на 69 км меньше, чем второй за 3 часа. Расстояние, пройденное первым автомобилем за 2 часа, равно $2v_1$ км. Расстояние, пройденное вторым за 3 часа, равно $3v_2$ км. Составим второе уравнение на основе этого условия:

$2v_1 = 3v_2 - 69$

Приведем второе уравнение к стандартному виду:

$2v_1 - 3v_2 = -69$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений:

$$ \begin{cases} 4,5v_1 + 2v_2 = 536 \\ 2v_1 - 3v_2 = -69 \end{cases} $$

Для решения системы используем метод сложения. Умножим первое уравнение на 3, а второе на 2, чтобы коэффициенты при переменной $v_2$ стали противоположными по знаку:

$$ \begin{cases} 3 \cdot (4,5v_1 + 2v_2) = 3 \cdot 536 \\ 2 \cdot (2v_1 - 3v_2) = 2 \cdot (-69) \end{cases} $$ $$ \begin{cases} 13,5v_1 + 6v_2 = 1608 \\ 4v_1 - 6v_2 = -138 \end{cases} $$

Сложим два полученных уравнения:

$(13,5v_1 + 6v_2) + (4v_1 - 6v_2) = 1608 - 138$

$17,5v_1 = 1470$

Теперь найдем скорость первого автомобиля $v_1$:

$v_1 = \frac{1470}{17,5} = \frac{14700}{175} = 84$ км/ч.

Подставим найденное значение $v_1 = 84$ во второе уравнение исходной системы ($2v_1 - 3v_2 = -69$), чтобы найти скорость второго автомобиля $v_2$:

$2 \cdot 84 - 3v_2 = -69$

$168 - 3v_2 = -69$

$-3v_2 = -69 - 168$

$-3v_2 = -237$

$v_2 = \frac{-237}{-3} = 79$ км/ч.

Ответ: скорость первого автомобиля — 84 км/ч, скорость второго автомобиля — 79 км/ч.