Номер 1311, страница 252 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 31. Решение задач с помощью систем линейных уравнений. Глава 3. Системы линейных уравнений с двумя переменными - номер 1311, страница 252.

Условие.

1311.У Миши и Гали было вместе 1500 р. Когда Миша истратил $\frac{1}{3}$ своих де- нег на приобретение математического справочника, а Галя $-$ $\frac{1}{6}$ своих денег на приобретение справочника по русскому языку, то оказалось, что Миша истратил на 50 р. больше, чем Галя. Сколько денег было у каждого из них сначала?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для решения задачи введем переменные и составим систему уравнений. Пусть $x$ — это первоначальная сумма денег у Миши (в рублях), а $y$ — первоначальная сумма денег у Гали (в рублях).

Из условия известно, что вместе у них было 1500 рублей. Это можно выразить первым уравнением:

$x + y = 1500$

Миша истратил $\frac{1}{3}$ своих денег, то есть его траты составили $\frac{1}{3}x$ рублей. Галя истратила $\frac{1}{6}$ своих денег, то есть её траты составили $\frac{1}{6}y$ рублей.

Также в условии сказано, что Миша истратил на 50 рублей больше, чем Галя. Это дает нам второе уравнение:

$\frac{1}{3}x = \frac{1}{6}y + 50$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными:

$ \begin{cases} x + y = 1500 \\ \frac{1}{3}x = \frac{1}{6}y + 50 \end{cases} $

Для решения системы выразим $x$ из первого уравнения:

$x = 1500 - y$

Теперь подставим это выражение во второе уравнение:

$\frac{1}{3}(1500 - y) = \frac{1}{6}y + 50$

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на 6:

$6 \cdot \frac{1}{3}(1500 - y) = 6 \cdot \frac{1}{6}y + 6 \cdot 50$

$2(1500 - y) = y + 300$

Раскроем скобки и решим полученное уравнение:

$3000 - 2y = y + 300$

Перенесем слагаемые с $y$ в одну сторону, а числа — в другую:

$3000 - 300 = y + 2y$

$2700 = 3y$

$y = \frac{2700}{3}$

$y = 900$

Мы нашли, что у Гали сначала было 900 рублей. Теперь найдем, сколько денег было у Миши, подставив значение $y$ в выражение для $x$:

$x = 1500 - y = 1500 - 900 = 600$

Следовательно, у Миши сначала было 600 рублей.

Проверим найденные значения. Общая сумма: $600 + 900 = 1500$ рублей. Миша истратил: $\frac{1}{3} \cdot 600 = 200$ рублей. Галя истратила: $\frac{1}{6} \cdot 900 = 150$ рублей. Разница в тратах: $200 - 150 = 50$ рублей. Все условия задачи выполняются.

Ответ: у Миши сначала было 600 рублей, у Гали — 900 рублей.