Номер 1309, страница 252 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 31. Решение задач с помощью систем линейных уравнений. Глава 3. Системы линейных уравнений с двумя переменными - номер 1309, страница 252.

Условие.

1309. Катер за 5 ч движения по течению реки проходит на 70 км больше, чем за 3 ч движения против течения. Найдите скорость катера в стоячей воде и скорость течения, если за 9 ч движения по озеру он проходит столько, сколько за 10 ч движения против течения реки.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение:

Пусть $v_{с}$ — скорость катера в стоячей воде (собственная скорость) в км/ч, а $v_{т}$ — скорость течения реки в км/ч.

Тогда скорость катера по течению реки равна $(v_{с} + v_{т})$ км/ч, а скорость катера против течения реки — $(v_{с} - v_{т})$ км/ч. Скорость катера при движении по озеру (в стоячей воде) равна $v_{с}$ км/ч.

Согласно первому условию, за 5 часов движения по течению катер проходит на 70 км больше, чем за 3 часа движения против течения. Расстояние, пройденное по течению, равно $5(v_{с} + v_{т})$ км. Расстояние, пройденное против течения, равно $3(v_{с} - v_{т})$ км. Составим первое уравнение:
$5(v_{с} + v_{т}) = 3(v_{с} - v_{т}) + 70$

Согласно второму условию, за 9 часов движения по озеру катер проходит такое же расстояние, как за 10 часов движения против течения реки. Расстояние, пройденное по озеру, равно $9v_{с}$ км. Расстояние, пройденное против течения, равно $10(v_{с} - v_{т})$ км. Составим второе уравнение:
$9v_{с} = 10(v_{с} - v_{т})$

Мы получили систему из двух уравнений с двумя переменными:
$\begin{cases} 5(v_{с} + v_{т}) = 3(v_{с} - v_{т}) + 70 \\ 9v_{с} = 10(v_{с} - v_{т}) \end{cases}$

Упростим каждое уравнение системы.
Первое уравнение:
$5v_{с} + 5v_{т} = 3v_{с} - 3v_{т} + 70$
$5v_{с} - 3v_{с} + 5v_{т} + 3v_{т} = 70$
$2v_{с} + 8v_{т} = 70$
Разделив обе части уравнения на 2, получим:
$v_{с} + 4v_{т} = 35$

Второе уравнение:
$9v_{с} = 10v_{с} - 10v_{т}$
$10v_{т} = 10v_{с} - 9v_{с}$
$v_{с} = 10v_{т}$

Теперь решим систему упрощенных уравнений:
$\begin{cases} v_{с} + 4v_{т} = 35 \\ v_{с} = 10v_{т} \end{cases}$

Подставим выражение для $v_{с}$ из второго уравнения в первое:
$(10v_{т}) + 4v_{т} = 35$
$14v_{т} = 35$
$v_{т} = \frac{35}{14} = \frac{5}{2} = 2,5$

Таким образом, скорость течения реки составляет 2,5 км/ч.

Теперь найдем скорость катера в стоячей воде, используя соотношение $v_{с} = 10v_{т}$:
$v_{с} = 10 \cdot 2,5 = 25$

Таким образом, скорость катера в стоячей воде составляет 25 км/ч.

Ответ: Скорость катера в стоячей воде — 25 км/ч, скорость течения — 2,5 км/ч.