Номер 1294, страница 250 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 31. Решение задач с помощью систем линейных уравнений. Глава 3. Системы линейных уравнений с двумя переменными - номер 1294, страница 250.

Условие.

1294. (Задача из рассказа «Репетитор» А. П. Чехова) Купец купил 138 арш.¹ чёрного и синего сукна за 540 р. Сколько аршин он купил того и другого, если синее стоило 5 р. за аршин, а чёрное 3 р.?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для решения этой задачи можно использовать два способа: алгебраический (с помощью системы уравнений) и арифметический.

Решение с помощью системы уравнений

Пусть $x$ — количество аршин синего сукна, а $y$ — количество аршин чёрного сукна.
Исходя из условия, что всего купец купил 138 аршин сукна, составим первое уравнение:
$x + y = 138$
Общая стоимость покупки составила 540 рублей. Стоимость всего синего сукна равна $5x$ рублей, а стоимость всего чёрного сукна — $3y$ рублей. Составим второе уравнение:
$5x + 3y = 540$
Получаем систему из двух уравнений:$$ \begin{cases} x + y = 138 \\ 5x + 3y = 540 \end{cases} $$Выразим $y$ из первого уравнения:
$y = 138 - x$
Подставим это выражение во второе уравнение и решим его относительно $x$:
$5x + 3(138 - x) = 540$
$5x + 414 - 3x = 540$
$2x = 540 - 414$
$2x = 126$
$x = 126 / 2$
$x = 63$
Таким образом, было куплено 63 аршина синего сукна.
Теперь найдём количество чёрного сукна, подставив значение $x$ в выражение для $y$:
$y = 138 - 63 = 75$
Следовательно, было куплено 75 аршин чёрного сукна.
Проверим: $63 \cdot 5 + 75 \cdot 3 = 315 + 225 = 540$ рублей. Всё верно.

Ответ: купец купил 63 аршина синего сукна и 75 аршин чёрного сукна.

Решение арифметическим способом

1. Предположим, что все 138 аршин сукна были куплены по минимальной цене, то есть по 3 рубля за аршин (как чёрное сукно). Тогда вся покупка стоила бы:
$138 \cdot 3 = 414$ рублей.
2. Найдём разницу между реальной стоимостью покупки и нашей гипотетической:
$540 - 414 = 126$ рублей.
3. Эта разница в 126 рублей возникла из-за того, что часть сукна была дороже. Найдём, на сколько синее сукно дороже чёрного за один аршин:
$5 - 3 = 2$ рубля.
4. Каждая замена одного аршина дешёвого сукна на дорогое увеличивает общую стоимость на 2 рубля. Чтобы узнать, сколько аршин дорогого (синего) сукна было куплено, разделим общую разницу в стоимости на разницу в цене за аршин:
$126 / 2 = 63$ аршина.
Итак, было куплено 63 аршина синего сукна.
5. Теперь найдём количество чёрного сукна, вычтя из общего количества количество синего:
$138 - 63 = 75$ аршин.
Было куплено 75 аршин чёрного сукна.

Ответ: было куплено 63 аршина синего сукна и 75 аршин чёрного сукна.