Номер 1290, страница 247 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 30. Решение систем линейных уравнений методом сложения. Глава 3. Системы линейных уравнений с двумя переменными - номер 1290, страница 247.

Условие.

1290. Какое из выражений принимает только отрицательные значения при любом значении $x$:

1) $-x^2 - 4x + 6;$

2) $-x^2 + 16x - 64;$

3) $-x^2 + 8x - 18?$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Чтобы определить, какое из квадратичных выражений $ax^2 + bx + c$ принимает только отрицательные значения, необходимо проверить два условия:

1. Старший коэффициент $a$ (при $x^2$) должен быть отрицательным ($a < 0$). Это означает, что ветви параболы, являющейся графиком функции, направлены вниз.
2. Квадратное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$ не должно иметь действительных корней. Это означает, что дискриминант $D = b^2 - 4ac$ должен быть строго меньше нуля ($D < 0$). В этом случае парабола не пересекает и не касается оси абсцисс.

Если оба условия выполняются, парабола полностью расположена ниже оси $Ox$, и, следовательно, выражение принимает только отрицательные значения при любом $x$. Проверим каждое выражение.

1) $-x^2 - 4x + 6$

В этом выражении $a = -1$, $b = -4$, $c = 6$.
1. Коэффициент $a = -1 < 0$, так что ветви параболы направлены вниз. Первое условие выполнено.
2. Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot (-1) \cdot 6 = 16 + 24 = 40$.
Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. График функции пересекает ось $Ox$, поэтому выражение принимает как положительные, так и отрицательные значения.

Ответ: не подходит.

2) $-x^2 + 16x - 64$

В этом выражении $a = -1$, $b = 16$, $c = -64$.
1. Коэффициент $a = -1 < 0$, ветви параболы направлены вниз. Первое условие выполнено.
2. Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 16^2 - 4 \cdot (-1) \cdot (-64) = 256 - 256 = 0$.
Поскольку $D = 0$, уравнение имеет один действительный корень. График функции касается оси $Ox$ в своей вершине. Это значит, что выражение принимает отрицательные значения для всех $x$, кроме одной точки, где оно равно нулю. Следовательно, оно не является строго отрицательным для всех $x$.
Это также можно увидеть, выделив полный квадрат: $-x^2 + 16x - 64 = -(x^2 - 16x + 64) = -(x-8)^2$. При $x = 8$, значение выражения равно $0$.

Ответ: не подходит.

3) $-x^2 + 8x - 18$

В этом выражении $a = -1$, $b = 8$, $c = -18$.
1. Коэффициент $a = -1 < 0$, ветви параболы направлены вниз. Первое условие выполнено.
2. Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot (-1) \cdot (-18) = 64 - 72 = -8$.
Поскольку $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней. График функции не пересекает ось $Ox$.
Так как оба условия выполнены (ветви вниз и нет пересечения с осью $Ox$), парабола полностью находится под осью абсцисс. Таким образом, это выражение принимает только отрицательные значения при любом значении $x$.

Ответ: подходит.