Номер 1285, страница 247 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 30. Решение систем линейных уравнений методом сложения. Глава 3. Системы линейных уравнений с двумя переменными - номер 1285, страница 247.

Условие.

1285. Найдите значение выражения:

1) $(a^2 + 1)^2 + (a - 1)(a^2 + 1) - a^2$, если $a = -2;$

2) $(a - 1)(a^2 + 1)(a + 1) - (a^2 + 1)^2$, если $a = \frac{1}{2}.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) $(a^2 + 1)^2 + (a - 1)(a^2 + 1) - a^2$, если $a = -2$

Для решения задачи сначала упростим данное алгебраическое выражение.

Шаг 1: Раскроем скобки. Первое слагаемое $(a^2 + 1)^2$ является квадратом суммы. Используем формулу $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$:
$(a^2 + 1)^2 = (a^2)^2 + 2 \cdot a^2 \cdot 1 + 1^2 = a^4 + 2a^2 + 1$.

Шаг 2: Раскроем произведение скобок $(a - 1)(a^2 + 1)$:
$(a - 1)(a^2 + 1) = a \cdot a^2 + a \cdot 1 - 1 \cdot a^2 - 1 \cdot 1 = a^3 + a - a^2 - 1$.

Шаг 3: Подставим раскрытые выражения обратно в исходное выражение и приведем подобные слагаемые:
$(a^4 + 2a^2 + 1) + (a^3 + a - a^2 - 1) - a^2 =$
$= a^4 + a^3 + (2a^2 - a^2 - a^2) + a + (1 - 1) =$
$= a^4 + a^3 + a$.

Шаг 4: Теперь, когда выражение упрощено, подставим в него значение $a = -2$:
$(-2)^4 + (-2)^3 + (-2) = 16 + (-8) - 2 = 16 - 8 - 2 = 8 - 2 = 6$.

Ответ: 6

---

2) $(a - 1)(a^2 + 1)(a + 1) - (a^2 + 1)^2$, если $a = \frac{1}{2}$

Для решения задачи сначала упростим данное алгебраическое выражение.

Шаг 1: Перегруппируем множители в первом члене выражения для удобства: $(a - 1)(a + 1)(a^2 + 1) - (a^2 + 1)^2$.

Шаг 2: Применим формулу разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$ к произведению $(a - 1)(a + 1)$:
$(a - 1)(a + 1) = a^2 - 1$.
Выражение примет вид: $(a^2 - 1)(a^2 + 1) - (a^2 + 1)^2$.

Шаг 3: Можно заметить общий множитель $(a^2 + 1)$ и вынести его за скобки:
$(a^2 + 1) \cdot [ (a^2 - 1) - (a^2 + 1) ]$.

Шаг 4: Упростим выражение в квадратных скобках:
$(a^2 + 1) \cdot [ a^2 - 1 - a^2 - 1 ] = (a^2 + 1) \cdot (-2)$.

Шаг 5: Раскроем скобки и получим окончательный упрощенный вид выражения:
$-2(a^2 + 1) = -2a^2 - 2$.

Шаг 6: Теперь подставим значение $a = \frac{1}{2}$ в упрощенное выражение:
$-2 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2 - 2 = -2 \cdot \frac{1}{4} - 2 = -\frac{2}{4} - 2 = -\frac{1}{2} - 2$.

Шаг 7: Вычислим итоговое значение:
$-\frac{1}{2} - 2 = -\frac{1}{2} - \frac{4}{2} = -\frac{5}{2} = -2,5$.

Ответ: -2,5