Страница 247 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

1284. Оптовая цена коробки конфет – 260 р. Розничная цена в магазине на 30% выше оптовой. Какое наибольшее количество таких коробок можно купить в магазине, располагая 5000 р.?

Для начала определим розничную цену коробки конфет. По условию, она на 30% выше оптовой цены, которая составляет 260 рублей. Увеличение на 30% эквивалентно умножению на 1.3.
Вычислим розничную цену:
$260 \cdot (1 + \frac{30}{100}) = 260 \cdot 1.3 = 338$ рублей.

Теперь, зная розничную цену одной коробки (338 рублей), мы можем найти, какое наибольшее количество коробок можно купить, имея 5000 рублей. Для этого нужно разделить общую сумму денег на цену одной коробки и взять целую часть от полученного результата, так как количество коробок не может быть дробным числом.
$5000 \div 338 \approx 14.79$

Целая часть от деления равна 14. Это означает, что на 5000 рублей можно купить 14 коробок конфет.
Проверим:
Стоимость 14 коробок: $14 \cdot 338 = 4732$ рубля. Эта сумма меньше 5000 рублей.
Стоимость 15 коробок: $15 \cdot 338 = 5070$ рублей. Эта сумма больше 5000 рублей, значит, 15 коробок купить нельзя.
Следовательно, наибольшее количество коробок, которое можно купить, — 14.

Ответ: 14

1285. Найдите значение выражения:

1) $(a^2 + 1)^2 + (a - 1)(a^2 + 1) - a^2$, если $a = -2;$

2) $(a - 1)(a^2 + 1)(a + 1) - (a^2 + 1)^2$, если $a = \frac{1}{2}.$

1) $(a^2 + 1)^2 + (a - 1)(a^2 + 1) - a^2$, если $a = -2$

Для решения задачи сначала упростим данное алгебраическое выражение.

Шаг 1: Раскроем скобки. Первое слагаемое $(a^2 + 1)^2$ является квадратом суммы. Используем формулу $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$:
$(a^2 + 1)^2 = (a^2)^2 + 2 \cdot a^2 \cdot 1 + 1^2 = a^4 + 2a^2 + 1$.

Шаг 2: Раскроем произведение скобок $(a - 1)(a^2 + 1)$:
$(a - 1)(a^2 + 1) = a \cdot a^2 + a \cdot 1 - 1 \cdot a^2 - 1 \cdot 1 = a^3 + a - a^2 - 1$.

Шаг 3: Подставим раскрытые выражения обратно в исходное выражение и приведем подобные слагаемые:
$(a^4 + 2a^2 + 1) + (a^3 + a - a^2 - 1) - a^2 =$
$= a^4 + a^3 + (2a^2 - a^2 - a^2) + a + (1 - 1) =$
$= a^4 + a^3 + a$.

Шаг 4: Теперь, когда выражение упрощено, подставим в него значение $a = -2$:
$(-2)^4 + (-2)^3 + (-2) = 16 + (-8) - 2 = 16 - 8 - 2 = 8 - 2 = 6$.

Ответ: 6

2) $(a - 1)(a^2 + 1)(a + 1) - (a^2 + 1)^2$, если $a = \frac{1}{2}$

Для решения задачи сначала упростим данное алгебраическое выражение.

Шаг 1: Перегруппируем множители в первом члене выражения для удобства: $(a - 1)(a + 1)(a^2 + 1) - (a^2 + 1)^2$.

Шаг 2: Применим формулу разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$ к произведению $(a - 1)(a + 1)$:
$(a - 1)(a + 1) = a^2 - 1$.
Выражение примет вид: $(a^2 - 1)(a^2 + 1) - (a^2 + 1)^2$.

Шаг 3: Можно заметить общий множитель $(a^2 + 1)$ и вынести его за скобки:
$(a^2 + 1) \cdot [ (a^2 - 1) - (a^2 + 1) ]$.

Шаг 4: Упростим выражение в квадратных скобках:
$(a^2 + 1) \cdot [ a^2 - 1 - a^2 - 1 ] = (a^2 + 1) \cdot (-2)$.

Шаг 5: Раскроем скобки и получим окончательный упрощенный вид выражения:
$-2(a^2 + 1) = -2a^2 - 2$.

Шаг 6: Теперь подставим значение $a = \frac{1}{2}$ в упрощенное выражение:
$-2 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2 - 2 = -2 \cdot \frac{1}{4} - 2 = -\frac{2}{4} - 2 = -\frac{1}{2} - 2$.

Шаг 7: Вычислим итоговое значение:
$-\frac{1}{2} - 2 = -\frac{1}{2} - \frac{4}{2} = -\frac{5}{2} = -2,5$.

Ответ: -2,5

1286. На математической олимпиаде участникам было предложено решить 12 задач. За каждую правильно решённую задачу начисляли 5 баллов, а за нерешённую – снимали 3 балла. Сколько задач решил правильно ученик, получивший всего 36 баллов?

Для решения этой задачи можно использовать два способа.

Способ 1: Алгебраический (с помощью уравнения)

Пусть $x$ — количество правильно решённых задач.

Всего было 12 задач, значит, количество нерешённых (или неправильно решённых) задач равно $(12 - x)$.

За каждую правильно решённую задачу ученик получал 5 баллов, то есть всего он получил $5x$ баллов за правильные ответы.

За каждую нерешённую задачу у него снимали 3 балла, то есть он потерял $3 \cdot (12 - x)$ баллов.

Общий балл ученика равен 36. Составим уравнение, приравнивая полученные баллы за вычетом снятых к итоговому результату:

$5x - 3 \cdot (12 - x) = 36$

Теперь решим это уравнение. Сначала раскроем скобки:

$5x - 36 + 3x = 36$

Приведём подобные слагаемые в левой части:

$8x - 36 = 36$

Перенесём -36 в правую часть уравнения с противоположным знаком:

$8x = 36 + 36$

$8x = 72$

Найдём $x$, разделив обе части уравнения на 8:

$x = \frac{72}{8}$

$x = 9$

Таким образом, ученик правильно решил 9 задач. Проверим результат: количество нерешённых задач равно $12 - 9 = 3$. Баллы: $9 \cdot 5 - 3 \cdot 3 = 45 - 9 = 36$. Результат совпадает с условием.

Способ 2: Арифметический (логический)

Предположим, что ученик решил все 12 задач правильно. В этом случае он бы получил максимальное количество баллов:

$12 \cdot 5 = 60$ баллов.

На самом деле ученик получил 36 баллов. Найдём разницу между максимально возможным и фактическим результатом:

$60 - 36 = 24$ балла.

Эта разница возникла из-за нерешённых задач. Выясним, на сколько баллов отличается результат за одну нерешённую задачу от результата за правильно решённую. Если бы задача была решена верно, ученик получил бы 5 баллов. Так как она не решена, с него сняли 3 балла. Следовательно, "потеря" баллов за каждую нерешённую задачу составляет:

$5 - (-3) = 5 + 3 = 8$ баллов.

Каждая нерешённая задача уменьшает максимальный результат на 8 баллов. Чтобы узнать, сколько было нерешённых задач, разделим общую "потерю" баллов на "потерю" от одной задачи:

$24 / 8 = 3$ задачи.

Итак, ученик не решил 3 задачи. Тогда количество правильно решённых задач равно:

$12 - 3 = 9$ задач.

Ответ: 9 задач.

1287. Через первую трубу бассейн можно заполнить водой за 1 ч, через вторую – за 3 ч, а через третью – за 6 ч. За сколько минут будет наполнен бассейн, если открыть одновременно все три трубы?

Для решения этой задачи на совместную работу, сначала определим производительность каждой трубы, то есть какую часть бассейна каждая труба заполняет за 1 час. Примем весь объем бассейна за 1.

1. Производительность первой трубы.
Первая труба заполняет весь бассейн за 1 час. Следовательно, её производительность $v_1$ равна: $v_1 = \frac{1}{1} = 1$ (часть бассейна в час).

2. Производительность второй трубы.
Вторая труба заполняет бассейн за 3 часа. Её производительность $v_2$ равна: $v_2 = \frac{1}{3}$ (части бассейна в час).

3. Производительность третьей трубы.
Третья труба заполняет бассейн за 6 часов. Её производительность $v_3$ равна: $v_3 = \frac{1}{6}$ (части бассейна в час).

4. Общая производительность.
Когда все три трубы открыты одновременно, их производительности складываются. Найдем общую производительность $v_{общ}$: $v_{общ} = v_1 + v_2 + v_3 = 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{6}$ Чтобы сложить эти дроби, приведем их к общему знаменателю 6: $v_{общ} = \frac{6}{6} + \frac{2}{6} + \frac{1}{6} = \frac{6 + 2 + 1}{6} = \frac{9}{6}$ Сократим полученную дробь: $v_{общ} = \frac{3}{2}$ (части бассейна в час).

5. Расчет времени заполнения.
Теперь, зная общую производительность, можно найти время $t$, за которое будет заполнен весь бассейн (объем работы равен 1). Время равно отношению объема работы к производительности: $t = \frac{1}{v_{общ}} = \frac{1}{\frac{3}{2}} = \frac{2}{3}$ часа.

6. Перевод времени в минуты.
В задаче требуется указать время в минутах. В одном часе 60 минут, поэтому: $t_{мин} = \frac{2}{3} \times 60 = 2 \times 20 = 40$ минут.

Ответ: 40 минут.

1288. Докажите, что разность квадратов двух произвольных натуральных чисел, каждое из которых не делится нацело на 3, кратна 3.

Пусть $a$ и $b$ — два произвольных натуральных числа, каждое из которых не делится нацело на 3.

Любое натуральное число $n$, которое не делится на 3, при делении на 3 может давать в остатке 1 или 2. Следовательно, такое число можно представить в одном из двух видов: $n = 3k + 1$ или $n = 3k + 2$, где $k$ — некоторое целое неотрицательное число.

Рассмотрим, какой остаток при делении на 3 дает квадрат такого числа $n^2$.

Случай 1: Число $n$ имеет вид $n = 3k + 1$.
Тогда его квадрат равен $n^2 = (3k + 1)^2 = (3k)^2 + 2 \cdot 3k \cdot 1 + 1^2 = 9k^2 + 6k + 1 = 3(3k^2 + 2k) + 1$.
В этом выражении первое слагаемое $3(3k^2 + 2k)$ кратно 3, значит, $n^2$ при делении на 3 дает в остатке 1.

Случай 2: Число $n$ имеет вид $n = 3k + 2$.
Тогда его квадрат равен $n^2 = (3k + 2)^2 = (3k)^2 + 2 \cdot 3k \cdot 2 + 2^2 = 9k^2 + 12k + 4 = 9k^2 + 12k + 3 + 1 = 3(3k^2 + 4k + 1) + 1$.
Здесь первое слагаемое $3(3k^2 + 4k + 1)$ кратно 3, значит, $n^2$ при делении на 3 также дает в остатке 1.

Таким образом, мы доказали, что квадрат любого натурального числа, не кратного 3, при делении на 3 дает в остатке 1.

Поскольку по условию задачи числа $a$ и $b$ не делятся на 3, то их квадраты $a^2$ и $b^2$ при делении на 3 дают в остатке 1. Это можно записать в виде:
$a^2 = 3m + 1$ и $b^2 = 3p + 1$, где $m$ и $p$ — некоторые целые числа.

Теперь найдем разность этих квадратов:
$a^2 - b^2 = (3m + 1) - (3p + 1) = 3m + 1 - 3p - 1 = 3m - 3p = 3(m - p)$.

Поскольку $m$ и $p$ являются целыми числами, их разность $(m - p)$ также является целым числом. Следовательно, выражение $3(m - p)$ делится нацело на 3, то есть является кратным 3. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Квадрат любого натурального числа, не делящегося на 3, при делении на 3 дает в остатке 1. Следовательно, разность двух таких квадратов ($a^2$ и $b^2$) можно представить в виде $(3m+1) - (3p+1) = 3(m-p)$, что является числом, кратным 3.

1289. В саду деревьев больше, чем 90, но меньше, чем 100. Треть всех деревьев – яблони, а четверть всех деревьев – сливы. Сколько деревьев в саду?

Пусть $N$ — общее количество деревьев в саду. По условию задачи, количество деревьев больше 90, но меньше 100. Это можно записать в виде двойного неравенства: $90 < N < 100$.

Из условия известно, что треть всех деревьев — это яблони. Это означает, что общее количество деревьев $N$ должно делиться на 3 без остатка. То есть $N$ кратно 3.

Также известно, что четверть всех деревьев — это сливы. Это означает, что общее количество деревьев $N$ должно делиться на 4 без остатка. То есть $N$ кратно 4.

Таким образом, искомое число $N$ должно одновременно делиться на 3 и на 4. Если число делится на 3 и на 4, то оно делится и на их наименьшее общее кратное (НОК). Поскольку числа 3 и 4 взаимно простые, их НОК равно их произведению.

$НОК(3, 4) = 3 \times 4 = 12$.

Следовательно, общее количество деревьев $N$ должно быть кратно 12. Теперь нам нужно найти число, кратное 12, которое удовлетворяет условию $90 < N < 100$.

Выпишем числа, кратные 12, близкие к заданному диапазону:

$12 \times 7 = 84$ (не подходит, так как $84 < 90$)

$12 \times 8 = 96$ (подходит, так как $90 < 96 < 100$)

$12 \times 9 = 108$ (не подходит, так как $108 > 100$)

Единственное число, удовлетворяющее всем условиям, — это 96. Проверим его:

• Количество яблонь: $96 \div 3 = 32$.
• Количество слив: $96 \div 4 = 24$.

Оба значения являются целыми числами, что подтверждает правильность решения.

Ответ: 96.

1290. Какое из выражений принимает только отрицательные значения при любом значении $x$:

1) $-x^2 - 4x + 6;$

2) $-x^2 + 16x - 64;$

3) $-x^2 + 8x - 18?$

Чтобы определить, какое из квадратичных выражений $ax^2 + bx + c$ принимает только отрицательные значения, необходимо проверить два условия:

1. Старший коэффициент $a$ (при $x^2$) должен быть отрицательным ($a < 0$). Это означает, что ветви параболы, являющейся графиком функции, направлены вниз.
2. Квадратное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$ не должно иметь действительных корней. Это означает, что дискриминант $D = b^2 - 4ac$ должен быть строго меньше нуля ($D < 0$). В этом случае парабола не пересекает и не касается оси абсцисс.

Если оба условия выполняются, парабола полностью расположена ниже оси $Ox$, и, следовательно, выражение принимает только отрицательные значения при любом $x$. Проверим каждое выражение.

1) $-x^2 - 4x + 6$

В этом выражении $a = -1$, $b = -4$, $c = 6$.
1. Коэффициент $a = -1 < 0$, так что ветви параболы направлены вниз. Первое условие выполнено.
2. Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot (-1) \cdot 6 = 16 + 24 = 40$.
Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. График функции пересекает ось $Ox$, поэтому выражение принимает как положительные, так и отрицательные значения.

Ответ: не подходит.

2) $-x^2 + 16x - 64$

В этом выражении $a = -1$, $b = 16$, $c = -64$.
1. Коэффициент $a = -1 < 0$, ветви параболы направлены вниз. Первое условие выполнено.
2. Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 16^2 - 4 \cdot (-1) \cdot (-64) = 256 - 256 = 0$.
Поскольку $D = 0$, уравнение имеет один действительный корень. График функции касается оси $Ox$ в своей вершине. Это значит, что выражение принимает отрицательные значения для всех $x$, кроме одной точки, где оно равно нулю. Следовательно, оно не является строго отрицательным для всех $x$.
Это также можно увидеть, выделив полный квадрат: $-x^2 + 16x - 64 = -(x^2 - 16x + 64) = -(x-8)^2$. При $x = 8$, значение выражения равно $0$.

Ответ: не подходит.

3) $-x^2 + 8x - 18$

В этом выражении $a = -1$, $b = 8$, $c = -18$.
1. Коэффициент $a = -1 < 0$, ветви параболы направлены вниз. Первое условие выполнено.
2. Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot (-1) \cdot (-18) = 64 - 72 = -8$.
Поскольку $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней. График функции не пересекает ось $Ox$.
Так как оба условия выполнены (ветви вниз и нет пересечения с осью $Ox$), парабола полностью находится под осью абсцисс. Таким образом, это выражение принимает только отрицательные значения при любом значении $x$.

Ответ: подходит.