Страница 248 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

1291. Клетки таблицы размером $101 \times 101$ заполнены числами так, что произведение чисел в каждом столбце является отрицательным. Может ли оказаться, что количество строк, произведение чисел в которых положительно, равно 51?

Пусть $a_{ij}$ — это число в клетке, расположенной в $i$-й строке и $j$-м столбце таблицы размером $101 \times 101$.

Рассмотрим произведение $P$ всех чисел в таблице. Это произведение можно вычислить двумя способами: перемножая произведения по столбцам или перемножая произведения по строкам.

1. Вычисление произведения $P$ по столбцам.

Пусть $C_j$ — произведение чисел в $j$-м столбце: $C_j = \prod_{i=1}^{101} a_{ij}$. По условию задачи, произведение чисел в каждом столбце отрицательно, то есть $C_j < 0$ для всех $j$ от 1 до 101. Произведение всех чисел в таблице $P$ равно произведению произведений по всем столбцам: $P = \prod_{j=1}^{101} C_j = C_1 \cdot C_2 \cdot \ldots \cdot C_{101}$. Так как мы перемножаем 101 отрицательное число, а 101 — нечетное число, то итоговое произведение будет отрицательным: $P < 0$.

2. Вычисление произведения $P$ по строкам.

Пусть $R_i$ — произведение чисел в $i$-й строке: $R_i = \prod_{j=1}^{101} a_{ij}$. Предположим, что количество строк, произведение чисел в которых положительно, равно 51. Это означает, что для 51 строки выполняется условие $R_i > 0$. Всего в таблице 101 строка. Следовательно, количество строк, где произведение не является положительным, равно $101 - 51 = 50$. Произведение в строке не может быть равно нулю, так как в этом случае произведение в каждом столбце, пересекающем эту строку, также было бы равно нулю, что противоречит условию. Значит, для этих 50 строк произведение должно быть отрицательным: $R_i < 0$.

Теперь вычислим произведение всех чисел $P$ как произведение произведений по всем строкам: $P = \prod_{i=1}^{101} R_i = R_1 \cdot R_2 \cdot \ldots \cdot R_{101}$. В этом произведении 51 положительный сомножитель и 50 отрицательных сомножителей. Поскольку количество отрицательных сомножителей (50) четно, их произведение будет положительным. Произведение положительных чисел также положительно. Таким образом, итоговое произведение $P$ будет положительным: $P > 0$.

Мы пришли к противоречию. При вычислении по столбцам мы получили, что $P < 0$, а при вычислении по строкам (исходя из нашего предположения) мы получили, что $P > 0$. Одно и то же число не может быть одновременно и положительным, и отрицательным. Следовательно, наше первоначальное предположение о том, что количество строк с положительным произведением может быть равно 51, неверно.

Ответ: Нет, не может.