Страница 255 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

1336. Существует ли двузначное число, удовлетворяющее таким условиям: цифра в разряде десятков этого числа на $2$ больше цифры в разряде его единиц, а разность между этим числом и числом, записанным теми же цифрами, но в обратном порядке, равна:

1) $20$;

2) $18$?

Если такое число существует, найдите его.

Пусть искомое двузначное число представлено в виде $\overline{ab}$, где $a$ – это цифра в разряде десятков, а $b$ – это цифра в разряде единиц. Тогда значение этого числа можно записать как $10a + b$.

Число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке, будет $\overline{ba}$, и его значение равно $10b + a$.

Согласно первому условию задачи, цифра в разряде десятков на 2 больше цифры в разряде единиц. Это можно выразить уравнением: $a = b + 2$

Разность между исходным числом и числом, записанным в обратном порядке, равна: $(10a + b) - (10b + a) = 10a + b - 10b - a = 9a - 9b = 9(a - b)$

Теперь мы можем подставить в это выражение условие $a = b + 2$, из которого следует, что $a - b = 2$: $9(a - b) = 9 \cdot 2 = 18$

Это означает, что для любого двузначного числа, у которого цифра десятков на 2 больше цифры единиц, разность между этим числом и его «перевернутой» версией всегда будет равна 18. Теперь проверим заданные в вопросе случаи.

1) Разность равна 20.

Мы уже установили, что для чисел, удовлетворяющих первому условию задачи, разность всегда составляет 18. Так как $18 \neq 20$, то не существует двузначного числа, которое бы удовлетворяло обоим условиям одновременно.

Ответ: не существует.

2) Разность равна 18.

Как было показано выше, это условие выполняется для любого двузначного числа, у которого цифра десятков на 2 больше цифры единиц ($a = b + 2$). Найдем все такие числа.

Так как $a$ — это цифра десятков, она не может быть нулем ($a \in \{1, 2, ..., 9\}$), а $b$ — цифра единиц ($b \in \{0, 1, ..., 9\}$). Переберем все возможные значения для $b$:

• если $b=0$, то $a=0+2=2$. Получаем число 20. (Проверка: $20-02=18$)
• если $b=1$, то $a=1+2=3$. Получаем число 31. (Проверка: $31-13=18$)
• если $b=2$, то $a=2+2=4$. Получаем число 42. (Проверка: $42-24=18$)
• если $b=3$, то $a=3+2=5$. Получаем число 53. (Проверка: $53-35=18$)
• если $b=4$, то $a=4+2=6$. Получаем число 64. (Проверка: $64-46=18$)
• если $b=5$, то $a=5+2=7$. Получаем число 75. (Проверка: $75-57=18$)
• если $b=6$, то $a=6+2=8$. Получаем число 86. (Проверка: $86-68=18$)
• если $b=7$, то $a=7+2=9$. Получаем число 97. (Проверка: $97-79=18$)

Если $b$ будет равно 8 или больше, то значение $a$ станет 10 или больше, что невозможно для цифры. Таким образом, мы нашли все существующие числа.

Ответ: да, существует, и это любое из чисел: 20, 31, 42, 53, 64, 75, 86, 97.

1337. (Задача Л. Н. Толстого) Вышла в поле артель косарей. Она должна выкосить два луга, из которых один в два раза больше другого. Пол-дня вся артель косила больший луг, а на вторую половину дня артель разделилась пополам, и одна половина осталась докашивать больший луг, а вторая начала косить меньший. До вечера больший луг был скошен, а от меньшего остался участок, который скосил на следующий день один косарь, работавший целый день. Сколько косарей было в артели?

Для решения задачи введем переменные и выразим площадь лугов через объем выполненной работы. За единицу работы примем «человеко-день» — это тот объем, который выполняет один косарь за один полный рабочий день.

Пусть $N$ — искомое количество косарей в артели. По условию, артель делилась пополам, значит, $N$ — четное число.

Пусть $S_{большой}$ — площадь большого луга, а $S_{малый}$ — площадь малого луга. По условию, $S_{большой} = 2 \cdot S_{малый}$.

Определим объем работы, затраченный на покос большого луга.

В первую половину дня (что составляет 0,5 дня) на большом лугу работала вся артель из $N$ косарей. Объем выполненной работы составил:
$W_1 = N \cdot 0,5 = 0,5N$ человеко-дней.

Во вторую половину дня (еще 0,5 дня) на нем работала половина артели, то есть $\frac{N}{2}$ косарей. Объем выполненной работы составил:
$W_2 = \frac{N}{2} \cdot 0,5 = 0,25N$ человеко-дней.

К вечеру большой луг был полностью скошен. Следовательно, его площадь эквивалентна суммарной работе:
$S_{большой} = W_1 + W_2 = 0,5N + 0,25N = 0,75N$ человеко-дней.

Определим объем работы, затраченный на покос малого луга.

Во вторую половину дня (0,5 дня) на малом лугу работала вторая половина артели, то есть $\frac{N}{2}$ косарей. Объем выполненной работы составил:
$W_3 = \frac{N}{2} \cdot 0,5 = 0,25N$ человеко-дней.

На следующий день оставшийся участок скосил один косарь, который работал целый день (1 день). Объем выполненной работы составил:
$W_4 = 1 \cdot 1 = 1$ человеко-день.

Таким образом, площадь малого луга эквивалентна сумме этих работ:
$S_{малый} = W_3 + W_4 = 0,25N + 1$ человеко-дней.

Составим и решим уравнение.

Теперь используем основное условие задачи $S_{большой} = 2 \cdot S_{малый}$ и подставим в него полученные выражения:
$0,75N = 2 \cdot (0,25N + 1)$

Решим это уравнение относительно $N$:
$0,75N = 0,5N + 2$
$0,75N - 0,5N = 2$
$0,25N = 2$
$N = \frac{2}{0,25}$
$N = 8$

Таким образом, в артели было 8 косарей.

Проверка.
Если в артели 8 косарей, то:
Площадь большого луга составляет $S_{большой} = 0,75 \cdot 8 = 6$ человеко-дней.
Площадь малого луга составляет $S_{малый} = 0,25 \cdot 8 + 1 = 2 + 1 = 3$ человеко-дня.
Соотношение площадей $6 = 2 \cdot 3$ выполняется, что соответствует условию задачи.

Ответ: в артели было 8 косарей.

1338.Пусть $A$ – множество простых делителей числа 24. Верно ли утверждение:

1) $2 \in A$;

2) $1 \in A$;

3) $4 \in A$;

4) $7 \notin A$?

Запишите с помощью фигурных скобок множество $A$.

По условию, A — множество простых делителей числа 24. Для начала найдем это множество.

Чтобы найти простые делители, разложим число 24 на простые множители:

$24 = 2 \cdot 12 = 2 \cdot 2 \cdot 6 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^3 \cdot 3$

Простыми делителями числа 24 являются уникальные простые числа из его разложения. Это числа 2 и 3.

Таким образом, множество A можно записать так: $A = \{2, 3\}$.

Теперь проверим верность каждого утверждения на основе найденного множества A.

1) $2 \in A$;
Утверждение гласит, что число 2 принадлежит множеству A. Поскольку $A = \{2, 3\}$, число 2 действительно является элементом этого множества. Утверждение верно.
Ответ: верно.

2) $1 \in A$;
Утверждение гласит, что число 1 принадлежит множеству A. По определению, число 1 не является простым числом. Множество A содержит только простые делители, поэтому 1 не является его элементом. Утверждение неверно.
Ответ: неверно.

3) $4 \in A$;
Утверждение гласит, что число 4 принадлежит множеству A. Число 4 является делителем числа 24, но оно не является простым числом (4 — это составное число, так как $4=2 \cdot 2$). Следовательно, 4 не принадлежит множеству A. Утверждение неверно.
Ответ: неверно.

4) $7 \notin A$?
Утверждение спрашивает, верно ли, что число 7 не принадлежит множеству A. Множество $A = \{2, 3\}$. Число 7 не равно ни 2, ни 3. Кроме того, 7 даже не является делителем числа 24. Следовательно, утверждение $7 \notin A$ является верным.
Ответ: верно.

Запишите с помощью фигурных скобок множество A.
Как было определено выше, множество A состоит из всех простых делителей числа 24.
Ответ: $A = \{2, 3\}$.

1339.В равенстве $4(0,5x - 3) = 3x + *$ замените звёздочку таким выражением, чтобы образовалось уравнение:

1) не имеющее корней;

2) имеющее бесконечно много корней;

3) имеющее один корень.

Исходное равенство: $4(0,5x - 3) = 3x + *$.

Сначала упростим левую часть равенства, раскрыв скобки:

$4 \cdot 0,5x - 4 \cdot 3 = 2x - 12$.

Таким образом, уравнение принимает вид:

$2x - 12 = 3x + *$.

Чтобы проанализировать количество корней, приведем уравнение к стандартному виду $ax = b$. Для этого заменим звездочку ($*$) на общее выражение $kx + c$, где $k$ и $c$ — некоторые числа.

$2x - 12 = 3x + kx + c$

Перенесем все слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую:

$2x - 3x - kx = 12 + c$

Вынесем $x$ за скобки:

$(2 - 3 - k)x = 12 + c$

$(-1 - k)x = 12 + c$

Мы получили линейное уравнение вида $ax = b$, где $a = -1 - k$ и $b = 12 + c$. Количество корней такого уравнения зависит от значений $a$ и $b$.

Линейное уравнение $ax = b$ не имеет корней, если коэффициент при $x$ равен нулю, а правая часть не равна нулю, то есть $a = 0$ и $b \neq 0$.

В нашем случае это означает:

$a = -1 - k = 0 \Rightarrow k = -1$

$b = 12 + c \neq 0 \Rightarrow c \neq -12$

Следовательно, чтобы уравнение не имело корней, нужно заменить звездочку выражением вида $-x + c$, где $c$ — любое число, кроме $-12$. Выберем в качестве примера $c=5$. Тогда искомое выражение — это $-x + 5$.

Проверим, подставив это выражение в исходное уравнение:

$4(0,5x - 3) = 3x + (-x + 5)$

$2x - 12 = 2x + 5$

$-12 = 5$

Получено неверное числовое равенство. Это означает, что уравнение действительно не имеет корней.

Ответ: $-x + 5$.

Линейное уравнение $ax = b$ имеет бесконечно много корней, если и коэффициент при $x$, и правая часть равны нулю, то есть $a = 0$ и $b = 0$.

В нашем случае это означает:

$a = -1 - k = 0 \Rightarrow k = -1$

$b = 12 + c = 0 \Rightarrow c = -12$

Следовательно, искомое выражение $kx+c$ должно быть равно $-1 \cdot x + (-12)$, то есть $-x - 12$.

Проверим, подставив это выражение в исходное уравнение:

$4(0,5x - 3) = 3x + (-x - 12)$

$2x - 12 = 2x - 12$

$0 = 0$

Получено верное тождество, которое истинно для любого значения $x$. Это означает, что уравнение имеет бесконечно много корней.

Ответ: $-x - 12$.

Линейное уравнение $ax = b$ имеет один корень, если коэффициент при $x$ не равен нулю, то есть $a \neq 0$.

В нашем случае это означает:

$a = -1 - k \neq 0 \Rightarrow k \neq -1$

Мы можем выбрать любое значение для $k$, кроме $-1$, и любое значение для $c$. Самый простой вариант — выбрать выражение, не содержащее $x$, то есть взять $k=0$. Это удовлетворяет условию $k \neq -1$.

Пусть, например, $k=0$ и $c=1$. Тогда искомое выражение — это число $1$.

Проверим, подставив это выражение в исходное уравнение:

$4(0,5x - 3) = 3x + 1$

$2x - 12 = 3x + 1$

$2x - 3x = 1 + 12$

$-x = 13$

$x = -13$

Уравнение имеет единственный корень $x = -13$.

Ответ: $1$.

1340.Постройте график функции:

1) $y = (2x - 1)(4x^2 + 2x + 1) - 8x^3;$

2) $y = (x + 1)(x + 4) - (x + 3)^2;$

3) $y = (0,5x + 2)^2 - (0,5x - 1)(0,5x + 1).$

1)

Для построения графика функции $y = (2x - 1)(4x^2 + 2x + 1) - 8x^3$ сначала упростим ее выражение.

Первая часть выражения, $(2x - 1)(4x^2 + 2x + 1)$, является формулой разности кубов $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$, где $a = 2x$ и $b = 1$.

Применим формулу:

$(2x - 1)(4x^2 + 2x + 1) = (2x)^3 - 1^3 = 8x^3 - 1$.

Теперь подставим упрощенное выражение обратно в исходную функцию:

$y = (8x^3 - 1) - 8x^3$.

Приведем подобные слагаемые:

$y = 8x^3 - 1 - 8x^3 = -1$.

Таким образом, исходная функция сводится к $y = -1$.

Графиком этой функции является прямая линия, параллельная оси абсцисс (оси Ox), проходящая через все точки, у которых ордината равна -1. Например, через точку $(0, -1)$.

Ответ: Графиком функции является прямая $y = -1$, которая параллельна оси Ox и проходит через точку $(0, -1)$.

2)

Для построения графика функции $y = (x + 1)(x + 4) - (x + 3)^2$ сначала упростим ее выражение.

Раскроем скобки. Сначала перемножим первые два множителя:

$(x + 1)(x + 4) = x^2 + 4x + x + 4 = x^2 + 5x + 4$.

Затем раскроем квадрат суммы по формуле $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$(x + 3)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 = x^2 + 6x + 9$.

Подставим полученные выражения в исходную функцию:

$y = (x^2 + 5x + 4) - (x^2 + 6x + 9) = x^2 + 5x + 4 - x^2 - 6x - 9$.

Приведем подобные слагаемые:

$y = (x^2 - x^2) + (5x - 6x) + (4 - 9) = -x - 5$.

В результате упрощения мы получили линейную функцию $y = -x - 5$.

Графиком этой функции является прямая. Для ее построения достаточно найти две точки. Найдем точки пересечения с осями координат:

1. Если $x = 0$, то $y = -0 - 5 = -5$. Точка пересечения с осью Oy: $(0, -5)$.

2. Если $y = 0$, то $0 = -x - 5$, откуда $x = -5$. Точка пересечения с осью Ox: $(-5, 0)$.

Чтобы построить график, нужно отметить на координатной плоскости точки $(0, -5)$ и $(-5, 0)$ и провести через них прямую.

Ответ: Графиком функции является прямая $y = -x - 5$, проходящая через точки $(0, -5)$ и $(-5, 0)$.

3)

Для построения графика функции $y = (0,5x + 2)^2 - (0,5x - 1)(0,5x + 1)$ сначала упростим ее выражение.

Раскроем скобки, используя формулы сокращенного умножения.

Для первого слагаемого применим формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$(0,5x + 2)^2 = (0,5x)^2 + 2 \cdot 0,5x \cdot 2 + 2^2 = 0,25x^2 + 2x + 4$.

Для второго слагаемого применим формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$:

$(0,5x - 1)(0,5x + 1) = (0,5x)^2 - 1^2 = 0,25x^2 - 1$.

Подставим полученные выражения в исходную функцию:

$y = (0,25x^2 + 2x + 4) - (0,25x^2 - 1) = 0,25x^2 + 2x + 4 - 0,25x^2 + 1$.

Приведем подобные слагаемые:

$y = (0,25x^2 - 0,25x^2) + 2x + (4 + 1) = 2x + 5$.

В результате упрощения мы получили линейную функцию $y = 2x + 5$.

Графиком этой функции является прямая. Для ее построения найдем две точки, например, точки пересечения с осями координат:

1. Если $x = 0$, то $y = 2 \cdot 0 + 5 = 5$. Точка пересечения с осью Oy: $(0, 5)$.

2. Если $y = 0$, то $0 = 2x + 5$, откуда $2x = -5$ и $x = -2,5$. Точка пересечения с осью Ox: $(-2,5; 0)$.

Чтобы построить график, нужно отметить на координатной плоскости точки $(0, 5)$ и $(-2,5; 0)$ и провести через них прямую.

Ответ: Графиком функции является прямая $y = 2x + 5$, проходящая через точки $(0, 5)$ и $(-2,5; 0)$.

1341. Постройте график функции $\begin{cases}2x+7, & \text{если } x < -2, \\-1.5x, & \text{если } -2 \le x \le 2, \\x-5, & \text{если } x > 2.\end{cases}$

Используя построенный график, определите, при каких значениях $a$ прямая $y = a$ имеет с этим графиком ровно две общие точки.

Постройте график функции $y = \begin{cases} 2x+7, & \text{если } x < -2 \\ -1.5x, & \text{если } -2 \le x \le 2 \\ x-5, & \text{если } x > 2 \end{cases}$

Для построения графика данной кусочно-заданной функции рассмотрим каждый из трех интервалов отдельно.

1. На промежутке $x < -2$ функция задается формулой $y = 2x + 7$. Это линейная функция, ее график — луч. Для построения найдем координаты двух точек. В граничной точке $x = -2$ имеем $y = 2(-2) + 7 = 3$. Так как неравенство строгое ($x < -2$), точка $(-2, 3)$ будет выколотой (не будет принадлежать этой части графика). В качестве второй точки возьмем $x = -4$, тогда $y = 2(-4) + 7 = -1$. Таким образом, эта часть графика — луч, выходящий из выколотой точки $(-2, 3)$ и проходящий через точку $(-4, -1)$.

2. На промежутке $-2 \le x \le 2$ функция задается формулой $y = -1.5x$. Это линейная функция, ее график — отрезок. Найдем координаты его концов. При $x = -2$ имеем $y = -1.5(-2) = 3$. Получаем точку $(-2, 3)$. При $x = 2$ имеем $y = -1.5(2) = -3$. Получаем точку $(2, -3)$. Эта часть графика — отрезок, соединяющий точки $(-2, 3)$ и $(2, -3)$. Заметим, что в точке $x=-2$ график непрерывен, так как выколотая точка от первого участка "закрывается" закрашенной точкой от второго.

3. На промежутке $x > 2$ функция задается формулой $y = x - 5$. Это линейная функция, ее график — луч. В граничной точке $x = 2$ имеем $y = 2 - 5 = -3$. Так как неравенство строгое ($x > 2$), точка $(2, -3)$ будет выколотой. В качестве второй точки возьмем $x = 5$, тогда $y = 5 - 5 = 0$. Эта часть графика — луч, выходящий из выколотой точки $(2, -3)$ и проходящий через точку $(5, 0)$. В точке $x=2$ график также непрерывен, так как конец отрезка из второго пункта находится в точке $(2, -3)$.

Итоговый график представляет собой непрерывную ломаную линию, состоящую из двух лучей и отрезка между ними. График имеет точку локального максимума $(-2, 3)$ и точку локального минимума $(2, -3)$.

Ответ: График функции построен.

Используя построенный график, определите, при каких значениях $a$ прямая $y = a$ имеет с этим графиком ровно две общие точки.

Прямая $y=a$ — это горизонтальная прямая. Число общих точек этой прямой с графиком функции равно числу решений уравнения $f(x)=a$. Проанализируем количество пересечений, мысленно перемещая прямую $y=a$ вдоль оси ординат.

Из построенного графика видно, что:

— Если прямая $y=a$ проходит через точку локального максимума, то есть при $a = 3$, она имеет с графиком две общие точки. Одна точка — это сам максимум $(-2, 3)$. Вторая точка лежит на луче $y = x - 5$: $3 = x - 5 \implies x = 8$. Точка $(8, 3)$ принадлежит графику. Итого две общие точки.

— Если прямая $y=a$ проходит через точку локального минимума, то есть при $a = -3$, она также имеет с графиком две общие точки. Одна точка — это сам минимум $(2, -3)$. Вторая точка лежит на луче $y = 2x + 7$: $-3 = 2x + 7 \implies 2x = -10 \implies x = -5$. Точка $(-5, -3)$ принадлежит графику. Итого две общие точки.

— При $a > 3$ прямая пересекает только луч $y = x - 5$, что дает одну общую точку.

— При $-3 < a < 3$ прямая пересекает все три части графика: луч $y=2x+7$, отрезок $y=-1.5x$ и луч $y=x-5$, что дает три общие точки.

— При $a < -3$ прямая пересекает только луч $y = 2x + 7$, что дает одну общую точку.

Таким образом, прямая $y=a$ имеет с графиком ровно две общие точки только тогда, когда она проходит через вершины ломаной — точки локального максимума и минимума.

Ответ: $a = -3; 3$.

1342. Представьте выражение $12ab$ в виде разности квадратов двух многочленов. Сколько решений имеет задача?

Для того чтобы представить выражение в виде разности квадратов двух многочленов, воспользуемся тождеством, которое связывает произведение двух выражений с разностью их квадратов. Вспомним формулы квадрата суммы и квадрата разности:

$(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$

$(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$

Вычтем из первого тождества второе:

$(x+y)^2 - (x-y)^2 = (x^2 + 2xy + y^2) - (x^2 - 2xy + y^2) = 4xy$

Отсюда получаем формулу для представления произведения через разность квадратов:

$xy = \frac{(x+y)^2 - (x-y)^2}{4} = \left(\frac{x+y}{2}\right)^2 - \left(\frac{x-y}{2}\right)^2$

Заменим в этой формуле произведение $xy$ на данное в задаче выражение $12ab$. Мы должны представить $12ab$ в виде произведения двух многочленов $U$ и $V$, то есть $12ab = U \cdot V$. Тогда искомые многочлены, квадраты которых мы ищем, будут равны $X = \frac{U+V}{2}$ и $Y = \frac{V-U}{2}$.

Представьте выражение 12ab в виде разности квадратов двух многочленов.

Рассмотрим несколько способов разложить $12ab$ на два множителя $U$ и $V$.

Способ 1:

Пусть $U = 2a$ и $V = 6b$. Их произведение равно $U \cdot V = 2a \cdot 6b = 12ab$.
Найдем многочлены $X$ и $Y$:
$X = \frac{U+V}{2} = \frac{2a+6b}{2} = a+3b$
$Y = \frac{V-U}{2} = \frac{6b-2a}{2} = 3b-a$
Тогда представление имеет вид:
$12ab = (a+3b)^2 - (3b-a)^2$. Так как $(3b-a)^2 = (-(a-3b))^2 = (a-3b)^2$, то можно записать:
$12ab = (a+3b)^2 - (a-3b)^2$.

Способ 2:

Пусть $U = 6a$ и $V = 2b$. Их произведение $U \cdot V = 6a \cdot 2b = 12ab$.
Найдем многочлены $X$ и $Y$:
$X = \frac{6a+2b}{2} = 3a+b$
$Y = \frac{2b-6a}{2} = b-3a$
Тогда представление имеет вид:
$12ab = (3a+b)^2 - (b-3a)^2$ или $12ab = (3a+b)^2 - (3a-b)^2$.

Способ 3:

Пусть $U = 6$ и $V = 2ab$. Их произведение $U \cdot V = 6 \cdot 2ab = 12ab$.
Найдем многочлены $X$ и $Y$:
$X = \frac{6+2ab}{2} = 3+ab$
$Y = \frac{2ab-6}{2} = ab-3$
Тогда представление имеет вид:
$12ab = (ab+3)^2 - (ab-3)^2$.

Сколько решений имеет задача?

Решение задачи сводится к выбору двух множителей $U$ и $V$ таких, что $U \cdot V = 12ab$. Выбор этих множителей не ограничен только целыми коэффициентами или одночленами. Мы можем выбрать в качестве множителя $U$ любое ненулевое число или многочлен.

Например, пусть $U = k$, где $k$ — любое отличное от нуля действительное число. Тогда $V = \frac{12ab}{k}$.
Искомые многочлены будут равны:
$X = \frac{k + \frac{12ab}{k}}{2} = \frac{k}{2} + \frac{6ab}{k}$
$Y = \frac{\frac{12ab}{k} - k}{2} = \frac{6ab}{k} - \frac{k}{2}$
Поскольку в качестве $k$ можно подставить любое ненулевое число (например, $1, 2, 5, \frac{1}{3}, \sqrt{2}$ и т.д.), для каждого значения $k$ мы получим новую пару многочленов $X$ и $Y$.

Например, если $k=1$, то $U=1, V=12ab$.
$X = \frac{1+12ab}{2} = 6ab + \frac{1}{2}$
$Y = \frac{12ab-1}{2} = 6ab - \frac{1}{2}$
И представление: $12ab = (6ab + \frac{1}{2})^2 - (6ab - \frac{1}{2})^2$.

Так как существует бесконечное множество способов выбрать множитель $k$, то существует бесконечное множество способов представить выражение $12ab$ в виде разности квадратов двух многочленов.

Ответ:
Пример представления: $12ab = (a+3b)^2 - (a-3b)^2$.
Задача имеет бесконечное множество решений.