Страница 258 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

9. Мать и дочь слепили вместе 104 вареника, причём дочь работала 2 ч, а мать — 3 ч. За 1 ч мать делает на 8 вареников больше, чем дочь.

Пусть дочь за 1 ч делает $x$ вареников, а мать — $y$ вареников. Какая из следующих систем уравнений является математической моделью ситуации, описанной в условии?

А) $$\begin{cases} 2x + 3y = 104, \\ x - y = 8 \end{cases}$$

В) $$\begin{cases} 2x + 3y = 104, \\ y - x = 8 \end{cases}$$

Б) $$\begin{cases} 3x + 2y = 104, \\ x - y = 8 \end{cases}$$

Г) $$\begin{cases} 3x + 2y = 104, \\ y - x = 8 \end{cases}$$

Для решения этой задачи необходимо перевести текстовое условие в систему математических уравнений. Следуем шагам, описанным в условии.

Пусть $x$ — количество вареников, которое лепит дочь за 1 час (производительность дочери), а $y$ — количество вареников, которое лепит мать за 1 час (производительность матери).

1. Составление первого уравнения.

В условии сказано, что дочь работала 2 часа, а мать — 3 часа. Вместе они слепили 104 вареника. Количество вареников, слепленных дочерью, можно выразить как произведение времени её работы на её производительность: $2 \cdot x$. Количество вареников, слепленных матерью, можно выразить как произведение времени её работы на её производительность: $3 \cdot y$. Общее количество вареников является суммой вареников, которые слепили дочь и мать: $2x + 3y = 104$ Это первое уравнение системы.

2. Составление второго уравнения.

Известно, что за 1 час мать делает на 8 вареников больше, чем дочь. Это означает, что производительность матери ($y$) на 8 единиц больше производительности дочери ($x$). Это можно записать как: $y = x + 8$ Для удобства сравнения с предложенными вариантами, перенесём $x$ в левую часть уравнения: $y - x = 8$ Это второе уравнение системы.

3. Формирование и выбор системы уравнений.

Объединяя оба уравнения, мы получаем математическую модель ситуации: $$ \begin{cases} 2x + 3y = 104 \\ y - x = 8 \end{cases} $$ Теперь сравним полученную систему с предложенными вариантами:

• А) $\begin{cases} 2x + 3y = 104 \\ x - y = 8 \end{cases}$ — второе уравнение неверно (оно бы означало, что дочь делает на 8 вареников больше).
• Б) $\begin{cases} 3x + 2y = 104 \\ x - y = 8 \end{cases}$ — оба уравнения неверны (в первом перепутаны часы работы, во втором — разница производительностей).
• В) $\begin{cases} 2x + 3y = 104 \\ y - x = 8 \end{cases}$ — эта система полностью соответствует нашей модели.
• Г) $\begin{cases} 3x + 2y = 104 \\ y - x = 8 \end{cases}$ — первое уравнение неверно (перепутаны часы работы).

Таким образом, правильной является система, указанная в варианте В.

Ответ: В

10. Из двух городов, расстояние между которыми 60 км, выехали одновременно грузовая и легковая машины. Если они поедут навстречу друг другу, то встретятся через 30 мин. Если они поедут в одном направлении, то легковая машина догонит грузовую через 3 ч после начала движения. Пусть скорость грузовой машины равна $x$ км/ч, а легковой - $y$ км/ч. Какая из следующих систем уравнений соответствует условию задачи?

А) $\begin{cases} 0,5x + 0,5y = 60 \\ 3y - 3x = 60 \end{cases}$

Б) $\begin{cases} 30x + 30y = 60 \\ 3y - 3x = 60 \end{cases}$

В) $\begin{cases} 30x + 30y = 60 \\ 3x - 3y = 60 \end{cases}$

Г) $\begin{cases} 0,5x + 0,5y = 60 \\ 3x - 3y = 60 \end{cases}$

Для решения этой задачи необходимо составить систему из двух линейных уравнений с двумя переменными, исходя из условий движения автомобилей. В задаче указано, что скорость грузовой машины равна $x$ км/ч, а скорость легковой машины — $y$ км/ч.

Составление первого уравнения (движение навстречу)
В первом сценарии машины выезжают из двух городов и едут навстречу друг другу. Когда объекты движутся навстречу, их скорости складываются. Такая скорость называется скоростью сближения. В данном случае она равна $v_{сбл} = x + y$ км/ч.
Им нужно вместе преодолеть расстояние между городами, равное $S = 60$ км.
Время, через которое они встретятся, составляет $t_1 = 30$ минут. Для правильного расчета необходимо перевести минуты в часы, так как скорость измеряется в км/ч: $t_1 = 30 \text{ мин} = \frac{30}{60} \text{ ч} = 0.5 \text{ ч}$.
Используем основную формулу движения: расстояние равно скорости, умноженной на время ($S = v \cdot t$).
Подставив наши значения, получаем:
$(x + y) \cdot 0.5 = 60$
Раскрыв скобки, получаем первое уравнение системы:
$0.5x + 0.5y = 60$

Составление второго уравнения (движение в одном направлении)
Во втором сценарии машины едут в одном направлении, и легковая машина догоняет грузовую. Это означает, что скорость легковой машины больше скорости грузовой ($y > x$). Скорость, с которой легковая машина сокращает расстояние до грузовой (относительная скорость или скорость сближения), равна разности их скоростей: $v_{отн} = y - x$ км/ч.
Начальное расстояние между ними, которое легковой машине нужно "наверстать", равно $S = 60$ км.
Время, за которое легковая машина догонит грузовую, равно $t_2 = 3$ часа.
Применяем ту же формулу $S = v \cdot t$:
$(y - x) \cdot 3 = 60$
Раскрыв скобки, получаем второе уравнение системы:
$3y - 3x = 60$

Итоговая система и выбор ответа
Объединив два полученных уравнения, мы формируем искомую систему: $$ \begin{cases} 0.5x + 0.5y = 60 \\ 3y - 3x = 60 \end{cases} $$ Сравнивая эту систему с предложенными вариантами, мы видим, что она полностью совпадает с вариантом А.

Ответ: А

11. Чайник и кофемолка стоили вместе 3700 р. После того как чайник подорожал на 10%, а кофемолка подешевела на 10%, они стали стоить вместе 3830 р.

Пусть чайник стоил сначала x р., а кофемолка – y р. Какая из следующих систем уравнений является математической моделью ситуации, описанной в условии задачи?

A) $\begin{cases} x + y = 3700, \\ 110x + 90y = 3830 \end{cases}$

B) $\begin{cases} x + y = 3700, \\ 0,1x + 0,1y = 3830 \end{cases}$

Б) $\begin{cases} x + y = 3700, \\ 1,1x + 0,9y = 3830 \end{cases}$

Г) $\begin{cases} x + y = 3700, \\ 0,9x + 1,1y = 3830 \end{cases}$

Для того чтобы определить, какая из предложенных систем уравнений является верной математической моделью, необходимо составить уравнения, исходя из условий задачи.

Пусть $x$ рублей — это первоначальная стоимость чайника, а $y$ рублей — первоначальная стоимость кофемолки.

Из первого условия, что чайник и кофемолка вместе стоили 3700 рублей, следует первое уравнение системы: $x + y = 3700$

Далее, рассмотрим изменение цен. Цена чайника подорожала на 10%. Его новая цена составляет 100% + 10% = 110% от первоначальной. Чтобы выразить это математически, нужно умножить первоначальную цену $x$ на коэффициент 1,1. Новая цена чайника равна $1,1x$.

Цена кофемолки, в свою очередь, подешевела на 10%. Ее новая цена составляет 100% - 10% = 90% от первоначальной. Математически это выражается умножением первоначальной цены $y$ на коэффициент 0,9. Новая цена кофемолки равна $0,9y$.

Согласно второму условию, после изменения цен их общая стоимость стала равна 3830 рублей. Сложив новые цены, мы получаем второе уравнение системы: $1,1x + 0,9y = 3830$

Таким образом, полная система уравнений, которая является математической моделью описанной ситуации, выглядит следующим образом: $ \begin{cases} x + y = 3700, \\ 1,1x + 0,9y = 3830 \end{cases} $

Сравнив полученную систему с предложенными вариантами, мы видим, что она полностью совпадает с системой, представленной в варианте Б).

Ответ: Б)

12. Решите уравнение $x^2 + y^2 + 12x - 2y + 37 = 0$.

А) (6; 1)

В) (-6; -1)

Б) (-6; 1)

Г) уравнение не имеет решений

Для решения данного уравнения необходимо преобразовать его, выделив полные квадраты для переменных $x$ и $y$. Это позволит привести уравнение к каноническому виду уравнения окружности $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$.

Исходное уравнение: $x^2 + y^2 + 12x - 2y + 37 = 0$

Сгруппируем слагаемые, содержащие $x$, и слагаемые, содержащие $y$: $(x^2 + 12x) + (y^2 - 2y) + 37 = 0$

Теперь выделим полные квадраты. Для этого воспользуемся формулой квадрата суммы/разности: $(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$.

Для выражения с $x$: $x^2 + 12x = x^2 + 2 \cdot x \cdot 6$. Чтобы получить полный квадрат, необходимо добавить $6^2 = 36$. $x^2 + 12x + 36 = (x + 6)^2$.

Для выражения с $y$: $y^2 - 2y = y^2 - 2 \cdot y \cdot 1$. Чтобы получить полный квадрат, необходимо добавить $1^2 = 1$. $y^2 - 2y + 1 = (y - 1)^2$.

Чтобы уравнение осталось верным, добавим и одновременно вычтем эти значения (36 и 1) в левой части уравнения: $(x^2 + 12x + 36) - 36 + (y^2 - 2y + 1) - 1 + 37 = 0$

Теперь заменим выражения в скобках на соответствующие квадраты двучленов: $(x + 6)^2 + (y - 1)^2 - 36 - 1 + 37 = 0$

Выполним сложение и вычитание свободных членов: $(x + 6)^2 + (y - 1)^2 + 0 = 0$ $(x + 6)^2 + (y - 1)^2 = 0$

Полученное уравнение представляет собой сумму двух квадратов. Квадрат любого действительного числа является неотрицательной величиной (т.е. $(x+6)^2 \ge 0$ и $(y-1)^2 \ge 0$). Сумма двух неотрицательных чисел равна нулю только в том случае, если каждое из них равно нулю.

Следовательно, мы получаем систему из двух уравнений: $ \begin{cases} (x+6)^2 = 0 \\ (y-1)^2 = 0 \end{cases} $

Решая эту систему, находим значения $x$ и $y$: $x + 6 = 0 \implies x = -6$ $y - 1 = 0 \implies y = 1$

Таким образом, единственным решением уравнения является пара чисел $(-6; 1)$. Среди предложенных вариантов это соответствует варианту Б.

Ответ: (-6; 1)