Номер 12, страница 258 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Задание № 7 «Проверьте себя» в тестовой форме. Глава 3. Системы линейных уравнений с двумя переменными - номер 12, страница 258.

Условие.

12. Решите уравнение $x^2 + y^2 + 12x - 2y + 37 = 0$.

А) (6; 1)

В) (-6; -1)

Б) (-6; 1)

Г) уравнение не имеет решений

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для решения данного уравнения необходимо преобразовать его, выделив полные квадраты для переменных $x$ и $y$. Это позволит привести уравнение к каноническому виду уравнения окружности $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$.

Исходное уравнение: $x^2 + y^2 + 12x - 2y + 37 = 0$

Сгруппируем слагаемые, содержащие $x$, и слагаемые, содержащие $y$: $(x^2 + 12x) + (y^2 - 2y) + 37 = 0$

Теперь выделим полные квадраты. Для этого воспользуемся формулой квадрата суммы/разности: $(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$.

Для выражения с $x$: $x^2 + 12x = x^2 + 2 \cdot x \cdot 6$. Чтобы получить полный квадрат, необходимо добавить $6^2 = 36$. $x^2 + 12x + 36 = (x + 6)^2$.

Для выражения с $y$: $y^2 - 2y = y^2 - 2 \cdot y \cdot 1$. Чтобы получить полный квадрат, необходимо добавить $1^2 = 1$. $y^2 - 2y + 1 = (y - 1)^2$.

Чтобы уравнение осталось верным, добавим и одновременно вычтем эти значения (36 и 1) в левой части уравнения: $(x^2 + 12x + 36) - 36 + (y^2 - 2y + 1) - 1 + 37 = 0$

Теперь заменим выражения в скобках на соответствующие квадраты двучленов: $(x + 6)^2 + (y - 1)^2 - 36 - 1 + 37 = 0$

Выполним сложение и вычитание свободных членов: $(x + 6)^2 + (y - 1)^2 + 0 = 0$ $(x + 6)^2 + (y - 1)^2 = 0$

Полученное уравнение представляет собой сумму двух квадратов. Квадрат любого действительного числа является неотрицательной величиной (т.е. $(x+6)^2 \ge 0$ и $(y-1)^2 \ge 0$). Сумма двух неотрицательных чисел равна нулю только в том случае, если каждое из них равно нулю.

Следовательно, мы получаем систему из двух уравнений: $ \begin{cases} (x+6)^2 = 0 \\ (y-1)^2 = 0 \end{cases} $

Решая эту систему, находим значения $x$ и $y$: $x + 6 = 0 \implies x = -6$ $y - 1 = 0 \implies y = 1$

Таким образом, единственным решением уравнения является пара чисел $(-6; 1)$. Среди предложенных вариантов это соответствует варианту Б.

Ответ: (-6; 1)