Номер 1353, страница 259 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения для повторения курса 7 класса - номер 1353, страница 259.

Условие.

1353. При каком значении x верно равенство:

1) $5^x \cdot 5^6 = 5^{24}$,

2) $(3^m)^x = 3^{5m}$,

3) $2^x \cdot 2^m = 2^{6m}$,

4) $(4^x)^{3m} = 4^{6m^2}$,

где $m$ – натуральное число?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) Для решения уравнения $5^x \cdot 5^6 = 5^{24}$ используется свойство умножения степеней с одинаковым основанием: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. Применив это свойство к левой части уравнения, получаем:
$5^{x+6} = 5^{24}$
Поскольку основания степеней равны, их показатели также должны быть равны. Приравниваем показатели:
$x + 6 = 24$
Решаем полученное линейное уравнение:
$x = 24 - 6$
$x = 18$
Ответ: $x=18$.

2) В уравнении $(3^m)^x = 3^{5m}$ применяется свойство возведения степени в степень: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$. Преобразуем левую часть уравнения:
$3^{m \cdot x} = 3^{5m}$
Так как основания степеней одинаковы, приравниваем их показатели:
$m \cdot x = 5m$
По условию $m$ — натуральное число, следовательно $m \neq 0$. Мы можем разделить обе части уравнения на $m$:
$x = \frac{5m}{m}$
$x = 5$
Ответ: $x=5$.

3) Для решения уравнения $2^x \cdot 2^m = 2^{6m}$ снова воспользуемся свойством умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:
$2^{x+m} = 2^{6m}$
Приравниваем показатели степеней, так как основания равны:
$x + m = 6m$
Чтобы найти $x$, перенесем $m$ в правую часть уравнения, изменив знак:
$x = 6m - m$
$x = 5m$
Ответ: $x=5m$.

4) В уравнении $(4^x)^{3m} = 4^{6m^2}$ используется свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$. Применим его к левой части:
$4^{x \cdot 3m} = 4^{6m^2}$
Поскольку основания степеней равны, приравниваем их показатели:
$3mx = 6m^2$
Так как $m$ — натуральное число, $m \neq 0$, мы можем разделить обе части уравнения на $3m$:
$x = \frac{6m^2}{3m}$
Сокращаем дробь:
$x = 2m$
Ответ: $x=2m$.