Номер 1355, страница 259 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения для повторения курса 7 класса - номер 1355, страница 259.

Условие.

1355. Представьте в виде степени выражение и вычислите его значение:

1) $81 \cdot 3^2$;

2) $4^3 \cdot 8^2$;

3) $100^2 \cdot 1000^3$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) $81 \cdot 3^2$

Чтобы представить выражение в виде степени, необходимо привести все множители к одному основанию. В данном случае это основание 3.

Число 81 можно представить как степень числа 3, поскольку $3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81$. Таким образом, $81 = 3^4$.

Подставим это значение в исходное выражение:

$81 \cdot 3^2 = 3^4 \cdot 3^2$.

Согласно свойству степеней, при умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$):

$3^4 \cdot 3^2 = 3^{4+2} = 3^6$.

Мы представили выражение в виде степени $3^6$. Теперь вычислим его значение:

$3^6 = 729$.

Ответ: $3^6 = 729$.

2) $4^3 \cdot 8^2$

Приведем множители к общему основанию 2, так как $4 = 2^2$ и $8 = 2^3$.

Подставим эти значения в выражение:

$4^3 \cdot 8^2 = (2^2)^3 \cdot (2^3)^2$.

Согласно свойству степеней, при возведении степени в степень показатели перемножаются ($(a^m)^n = a^{m \cdot n}$):

$(2^2)^3 = 2^{2 \cdot 3} = 2^6$

$(2^3)^2 = 2^{3 \cdot 2} = 2^6$

Теперь выражение имеет вид:

$2^6 \cdot 2^6$.

Снова используем правило умножения степеней с одинаковым основанием:

$2^6 \cdot 2^6 = 2^{6+6} = 2^{12}$.

Мы представили выражение в виде степени $2^{12}$. Вычислим его значение:

$2^{12} = 4096$.

Ответ: $2^{12} = 4096$.

3) $100^2 \cdot 1000^3$

Приведем множители к общему основанию 10. Мы знаем, что $100 = 10^2$ и $1000 = 10^3$.

Подставим эти значения в исходное выражение:

$100^2 \cdot 1000^3 = (10^2)^2 \cdot (10^3)^3$.

Используем свойство возведения степени в степень:

$(10^2)^2 = 10^{2 \cdot 2} = 10^4$.

$(10^3)^3 = 10^{3 \cdot 3} = 10^9$.

Теперь выражение выглядит следующим образом:

$10^4 \cdot 10^9$.

Используем правило умножения степеней с одинаковым основанием:

$10^4 \cdot 10^9 = 10^{4+9} = 10^{13}$.

Мы представили выражение в виде степени $10^{13}$. Его значение — это число 1 с 13 нулями:

$10^{13} = 10\;000\;000\;000\;000$.

Ответ: $10^{13} = 10\;000\;000\;000\;000$.