Номер 1361, страница 260 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения для повторения курса 7 класса - номер 1361, страница 260.

Условие.

1361. Найдите сумму и разность многочленов:

1) $2,8b - 0,75b^2$ и $\frac{1}{4}b^2 - 1\frac{4}{5}b;$

2) $1\frac{2}{7}x^2 + 2\frac{4}{9}y$ и $2\frac{3}{14}x^2 - 1\frac{1}{6}y.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) Даны многочлены $2,8b - 0,75b^2$ и $\frac{1}{4}b^2 - 1\frac{4}{5}b$.
Для удобства вычислений преобразуем все коэффициенты в десятичные дроби. Это возможно, так как знаменатели дробей (4 и 5) являются делителями степеней числа 10.
$\frac{1}{4} = 0,25$
$1\frac{4}{5} = 1 + \frac{4}{5} = 1 + 0,8 = 1,8$
Таким образом, мы будем работать с многочленами $2,8b - 0,75b^2$ и $0,25b^2 - 1,8b$.

Найдем сумму многочленов:
Для этого сложим многочлены и приведем подобные слагаемые (члены с одинаковой буквенной частью).
$(2,8b - 0,75b^2) + (0,25b^2 - 1,8b) = 2,8b - 0,75b^2 + 0,25b^2 - 1,8b$
Сгруппируем подобные члены:
$(2,8b - 1,8b) + (-0,75b^2 + 0,25b^2) = 1b - 0,5b^2 = b - 0,5b^2$.

Найдем разность многочленов:
Для этого из первого многочлена вычтем второй. При раскрытии скобок знаки слагаемых во втором многочлене изменятся на противоположные.
$(2,8b - 0,75b^2) - (0,25b^2 - 1,8b) = 2,8b - 0,75b^2 - 0,25b^2 + 1,8b$
Сгруппируем подобные члены:
$(2,8b + 1,8b) + (-0,75b^2 - 0,25b^2) = 4,6b - 1b^2 = 4,6b - b^2$.

Ответ: сумма многочленов равна $b - 0,5b^2$; разность многочленов равна $4,6b - b^2$.

2) Даны многочлены $1\frac{2}{7}x^2 + 2\frac{4}{9}y$ и $2\frac{3}{14}x^2 - 1\frac{1}{6}y$.
В этом случае удобнее проводить все вычисления в обыкновенных дробях. Для этого преобразуем смешанные числа в неправильные дроби.
$1\frac{2}{7} = \frac{1 \cdot 7 + 2}{7} = \frac{9}{7}$
$2\frac{4}{9} = \frac{2 \cdot 9 + 4}{9} = \frac{22}{9}$
$2\frac{3}{14} = \frac{2 \cdot 14 + 3}{14} = \frac{31}{14}$
$1\frac{1}{6} = \frac{1 \cdot 6 + 1}{6} = \frac{7}{6}$
Получаем многочлены: $\frac{9}{7}x^2 + \frac{22}{9}y$ и $\frac{31}{14}x^2 - \frac{7}{6}y$.

Найдем сумму многочленов:
$(\frac{9}{7}x^2 + \frac{22}{9}y) + (\frac{31}{14}x^2 - \frac{7}{6}y) = (\frac{9}{7}x^2 + \frac{31}{14}x^2) + (\frac{22}{9}y - \frac{7}{6}y)$.
Вычислим коэффициенты для подобных членов, приведя дроби к общему знаменателю.
Для $x^2$: $\frac{9}{7} + \frac{31}{14} = \frac{9 \cdot 2}{14} + \frac{31}{14} = \frac{18 + 31}{14} = \frac{49}{14} = \frac{7}{2} = 3\frac{1}{2}$.
Для $y$: $\frac{22}{9} - \frac{7}{6}$. Общий знаменатель для 9 и 6 это 18. $\frac{22 \cdot 2}{18} - \frac{7 \cdot 3}{18} = \frac{44 - 21}{18} = \frac{23}{18} = 1\frac{5}{18}$.
Сумма равна $3\frac{1}{2}x^2 + 1\frac{5}{18}y$.

Найдем разность многочленов:
$(\frac{9}{7}x^2 + \frac{22}{9}y) - (\frac{31}{14}x^2 - \frac{7}{6}y) = (\frac{9}{7}x^2 - \frac{31}{14}x^2) + (\frac{22}{9}y + \frac{7}{6}y)$.
Вычислим коэффициенты для подобных членов.
Для $x^2$: $\frac{9}{7} - \frac{31}{14} = \frac{18}{14} - \frac{31}{14} = \frac{18 - 31}{14} = -\frac{13}{14}$.
Для $y$: $\frac{22}{9} + \frac{7}{6} = \frac{44}{18} + \frac{21}{18} = \frac{44 + 21}{18} = \frac{65}{18} = 3\frac{11}{18}$.
Разность равна $-\frac{13}{14}x^2 + 3\frac{11}{18}y$.

Ответ: сумма многочленов равна $3\frac{1}{2}x^2 + 1\frac{5}{18}y$; разность многочленов равна $-\frac{13}{14}x^2 + 3\frac{11}{18}y$.