Номер 1366, страница 260 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения для повторения курса 7 класса - номер 1366, страница 260.

Условие.

1366. Существуют ли такие значения $x$ и $y$, при которых многочлены $-4x^2 - 12xy + 7y^2$ и $6x^2 + 12xy - 5y^2$ одновременно принимают отрицательные значения?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Чтобы определить, существуют ли такие значения $x$ и $y$, при которых оба многочлена принимают отрицательные значения, рассмотрим эти многочлены. Обозначим их как $P_1$ и $P_2$:

$P_1 = -4x^2 - 12xy + 7y^2$

$P_2 = 6x^2 + 12xy - 5y^2$

Мы ищем такие $x$ и $y$, для которых одновременно выполняются два неравенства: $P_1 < 0$ и $P_2 < 0$.

Давайте воспользуемся методом доказательства от противного. Предположим, что такие значения $x$ и $y$ существуют. Если оба многочлена $P_1$ и $P_2$ принимают отрицательные значения, то их сумма также должна быть отрицательной: $P_1 + P_2 < 0$.

Теперь найдем сумму этих многочленов:

$P_1 + P_2 = (-4x^2 - 12xy + 7y^2) + (6x^2 + 12xy - 5y^2)$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$P_1 + P_2 = (-4x^2 + 6x^2) + (-12xy + 12xy) + (7y^2 - 5y^2)$

$P_1 + P_2 = 2x^2 + 0 \cdot xy + 2y^2$

$P_1 + P_2 = 2x^2 + 2y^2 = 2(x^2 + y^2)$

Рассмотрим полученное выражение $2(x^2 + y^2)$. Поскольку квадраты любых действительных чисел $x$ и $y$ являются неотрицательными ($x^2 \ge 0$ и $y^2 \ge 0$), их сумма $x^2 + y^2$ также всегда неотрицательна. Сумма $x^2 + y^2$ равна нулю только в одном случае: когда $x = 0$ и $y = 0$ одновременно. Во всех остальных случаях $x^2 + y^2 > 0$.

Следовательно, выражение $2(x^2 + y^2)$ всегда больше или равно нулю: $2(x^2 + y^2) \ge 0$.

Мы пришли к противоречию. С одной стороны, из нашего предположения следует, что сумма многочленов должна быть отрицательной ($P_1 + P_2 < 0$). С другой стороны, мы получили, что их сумма всегда неотрицательна ($P_1 + P_2 \ge 0$).

Единственный случай, когда сумма не является строго положительной, это $x=0$ и $y=0$. Проверим его. При $x=0, y=0$:

$P_1 = -4(0)^2 - 12(0)(0) + 7(0)^2 = 0$

$P_2 = 6(0)^2 + 12(0)(0) - 5(0)^2 = 0$

В этом случае оба многочлена равны нулю, а не отрицательны. Таким образом, наше первоначальное предположение неверно.

Ответ: Таких значений $x$ и $y$, при которых оба многочлена одновременно принимают отрицательные значения, не существует.