Номер 1373, страница 261 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения для повторения курса 7 класса - номер 1373, страница 261.

Условие.

1373. Разложите на множители:

1) $\frac{1}{2}a^6 - \frac{1}{4}a^2b$;

2) $5m^2n^3k^4 + 35m^4n^3k^2$;

3) $x^3y^2z^5 - 2xy^5z^3 + 3x^2y^3z$;

4) $a^{2n}b^{3n} - a^nb^{4n}$, где $n$ – натуральное число.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1)

Чтобы разложить на множители выражение $\frac{1}{2}a^6 - \frac{1}{4}a^2b$, нужно найти общий множитель и вынести его за скобки.
1. Найдём наибольший общий делитель (НОД) для числовых коэффициентов $\frac{1}{2}$ и $\frac{1}{4}$. Общим множителем является $\frac{1}{4}$.
2. Найдём общий множитель для переменных. В выражении есть $a^6$ и $a^2$. Выносим переменную с наименьшим показателем степени, то есть $a^2$. Переменная $b$ присутствует только во втором слагаемом, поэтому она не является общим множителем.
3. Итак, общий множитель для всего выражения — это $\frac{1}{4}a^2$.
4. Вынесем общий множитель за скобки. Для этого разделим каждый член исходного выражения на $\frac{1}{4}a^2$:
$\frac{1}{2}a^6 : (\frac{1}{4}a^2) = (\frac{1}{2} \cdot 4) \cdot a^{6-2} = 2a^4$
$-\frac{1}{4}a^2b : (\frac{1}{4}a^2) = -b$
В результате получаем выражение в скобках: $(2a^4 - b)$.
Итоговое разложение: $\frac{1}{4}a^2(2a^4 - b)$.

Ответ: $\frac{1}{4}a^2(2a^4 - b)$

2)

В выражении $5m^2n^3k^4 + 35m^4n^3k^2$ ищем общий множитель.
1. НОД для коэффициентов 5 и 35 равен 5.
2. Определяем общие переменные с наименьшими степенями:

• для $m$: степени $m^2$ и $m^4$, наименьшая $m^2$;
• для $n$: степени $n^3$ и $n^3$, наименьшая $n^3$;
• для $k$: степени $k^4$ и $k^2$, наименьшая $k^2$.

3. Общий множитель: $5m^2n^3k^2$.
4. Выносим его за скобки, разделив каждый член на этот множитель:
$5m^2n^3k^2(\frac{5m^2n^3k^4}{5m^2n^3k^2} + \frac{35m^4n^3k^2}{5m^2n^3k^2}) = 5m^2n^3k^2(k^{4-2} + 7m^{4-2}) = 5m^2n^3k^2(k^2 + 7m^2)$.

Ответ: $5m^2n^3k^2(k^2 + 7m^2)$

3)

Рассмотрим многочлен $x^3y^2z^5 - 2xy^5z^3 + 3x^2y^3z$.
1. НОД коэффициентов 1, -2, 3 равен 1.
2. Определяем общие переменные с наименьшими степенями:

• для $x$: степени $x^3$, $x^1$, $x^2$, наименьшая $x$;
• для $y$: степени $y^2$, $y^5$, $y^3$, наименьшая $y^2$;
• для $z$: степени $z^5$, $z^3$, $z^1$, наименьшая $z$.

3. Общий множитель: $xy^2z$.
4. Выносим его за скобки:
$xy^2z(\frac{x^3y^2z^5}{xy^2z} - \frac{2xy^5z^3}{xy^2z} + \frac{3x^2y^3z}{xy^2z}) = xy^2z(x^{3-1}y^{2-2}z^{5-1} - 2x^{1-1}y^{5-2}z^{3-1} + 3x^{2-1}y^{3-2}z^{1-1})$
$= xy^2z(x^2y^0z^4 - 2x^0y^3z^2 + 3x^1y^1z^0) = xy^2z(x^2z^4 - 2y^3z^2 + 3xy)$.

Ответ: $xy^2z(x^2z^4 - 2y^3z^2 + 3xy)$

4)

В выражении $a^{2n}b^{3n} - a^nb^{4n}$, где $n$ — натуральное число, найдём общий множитель.
1. Общие коэффициенты равны 1, поэтому их не рассматриваем.
2. Определяем общие переменные с наименьшими степенями. Так как $n$ — натуральное число ($n \ge 1$), то $2n > n$ и $4n > 3n$.

• для $a$: степени $2n$ и $n$, наименьшая $n$. Выносим $a^n$.
• для $b$: степени $3n$ и $4n$, наименьшая $3n$. Выносим $b^{3n}$.

3. Общий множитель: $a^nb^{3n}$.
4. Выносим его за скобки:
$a^nb^{3n}(\frac{a^{2n}b^{3n}}{a^nb^{3n}} - \frac{a^nb^{4n}}{a^nb^{3n}}) = a^nb^{3n}(a^{2n-n}b^{3n-3n} - a^{n-n}b^{4n-3n})$
$= a^nb^{3n}(a^nb^0 - a^0b^n) = a^nb^{3n}(a^n \cdot 1 - 1 \cdot b^n) = a^nb^{3n}(a^n - b^n)$.

Ответ: $a^nb^{3n}(a^n - b^n)$