Номер 1376, страница 261 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения для повторения курса 7 класса - номер 1376, страница 261.

Условие.

1376.Докажите, что число:

1) $\overline{abba}$ делится нацело на 11;

2) $\overline{aaabbb}$ делится нацело на 37;

3) $\overline{ababab}$ делится нацело на 7;

4) $\overline{abab} - \overline{baba}$ делится нацело на 9 и на 101.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) $\overline{abba}$ делится нацело на 11;
Представим число $\overline{abba}$ в виде суммы разрядных слагаемых, где $a$ и $b$ — цифры, причем $a \neq 0$.
$\overline{abba} = a \cdot 10^3 + b \cdot 10^2 + b \cdot 10^1 + a \cdot 10^0 = 1000a + 100b + 10b + a$.
Сгруппируем слагаемые:
$(1000a + a) + (100b + 10b) = 1001a + 110b$.
Заметим, что оба коэффициента делятся на 11, так как $1001 = 11 \cdot 91$ и $110 = 11 \cdot 10$. Вынесем 11 за скобки:
$1001a + 110b = 11 \cdot 91a + 11 \cdot 10b = 11(91a + 10b)$.
Поскольку число $\overline{abba}$ можно представить в виде произведения, где один из множителей равен 11, то оно делится на 11 нацело.
Ответ: Доказано.

2) $\overline{aaabbb}$ делится нацело на 37;
Представим число $\overline{aaabbb}$, сгруппировав разряды по три:
$\overline{aaabbb} = \overline{aaa} \cdot 10^3 + \overline{bbb} = (100a+10a+a) \cdot 1000 + (100b+10b+b) = 111a \cdot 1000 + 111b$.
Вынесем за скобки общий множитель 111:
$111 \cdot (1000a + b)$.
Известно, что $111 = 3 \cdot 37$. Подставим это в выражение:
$111 \cdot (1000a + b) = 3 \cdot 37 \cdot (1000a + b) = 37 \cdot [3(1000a + b)]$.
Так как выражение является произведением, в котором один из множителей равен 37, то число $\overline{aaabbb}$ делится на 37 нацело.
Ответ: Доказано.

3) $\overline{ababab}$ делится нацело на 7;
Представим число $\overline{ababab}$ как повторение двухразрядного числа $\overline{ab}$:
$\overline{ababab} = \overline{ab} \cdot 10^4 + \overline{ab} \cdot 10^2 + \overline{ab} \cdot 1 = \overline{ab} \cdot (10000 + 100 + 1) = \overline{ab} \cdot 10101$.
Проверим, делится ли число 10101 на 7:
$10101 \div 7 = 1443$.
Следовательно, $10101 = 7 \cdot 1443$. Подставим это в наше выражение:
$\overline{ab} \cdot 10101 = \overline{ab} \cdot (7 \cdot 1443) = 7 \cdot (\overline{ab} \cdot 1443)$.
Так как выражение является произведением, в котором один из множителей равен 7, то число $\overline{ababab}$ делится на 7 нацело.
Ответ: Доказано.

4) $\overline{abab} - \overline{baba}$ делится нацело на 9 и на 101.
Представим числа $\overline{abab}$ и $\overline{baba}$ в виде суммы разрядных слагаемых:
$\overline{abab} = 1000a + 100b + 10a + b = 1010a + 101b$.
$\overline{baba} = 1000b + 100a + 10b + a = 1010b + 101a$.
Найдем их разность:
$\overline{abab} - \overline{baba} = (1010a + 101b) - (1010b + 101a) = 1010a - 101a + 101b - 1010b = 909a - 909b$.
Вынесем общий множитель 909 за скобки:
$909(a-b)$.
Разложим число 909 на множители: $909 = 9 \cdot 101$.
Подставим это в выражение разности:
$9 \cdot 101 \cdot (a-b)$.
Это выражение содержит множители 9 и 101, следовательно, оно делится нацело и на 9, и на 101.
Ответ: Доказано.