Номер 1378, страница 261 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения для повторения курса 7 класса - номер 1378, страница 261.

Условие.

1378. При каком значении $a$ уравнение $(3x-1)(x+a)=(3x-2)(x+1)$ не имеет корней?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для того чтобы уравнение не имело корней, необходимо его преобразовать к виду $Ax = B$ и найти такие значения параметра a, при которых $A=0$, а $B \ne 0$.

Исходное уравнение:

$(3x - 1)(x + a) = (3x - 2)(x + 1)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения, выполнив умножение многочленов:

$3x \cdot x + 3x \cdot a - 1 \cdot x - 1 \cdot a = 3x \cdot x + 3x \cdot 1 - 2 \cdot x - 2 \cdot 1$

$3x^2 + 3ax - x - a = 3x^2 + 3x - 2x - 2$

Упростим правую часть:

$3x^2 + 3ax - x - a = 3x^2 + x - 2$

Взаимно уничтожим слагаемое $3x^2$ в обеих частях уравнения, так как оно присутствует и слева, и справа:

$3ax - x - a = x - 2$

Теперь сгруппируем все слагаемые, содержащие переменную x, в левой части, а все остальные слагаемые — в правой:

$3ax - x - x = a - 2$

Вынесем x за скобки в левой части:

$(3a - 1 - 1)x = a - 2$

$(3a - 2)x = a - 2$

Мы привели уравнение к линейному виду $Ax = B$, где коэффициент $A = 3a - 2$ и свободный член $B = a - 2$.

Линейное уравнение не имеет корней (решений) тогда и только тогда, когда коэффициент при x равен нулю, а правая часть (свободный член) не равна нулю. Запишем это в виде системы условий:

$\begin{cases} 3a - 2 = 0 \\ a - 2 \ne 0 \end{cases}$

Решим первое уравнение, чтобы найти значение a:

$3a - 2 = 0$

$3a = 2$

$a = \frac{2}{3}$

Теперь подставим найденное значение a во второе условие (неравенство), чтобы убедиться, что оно выполняется:

$a - 2 = \frac{2}{3} - 2 = \frac{2}{3} - \frac{6}{3} = -\frac{4}{3}$

Поскольку $-\frac{4}{3} \ne 0$, второе условие выполнено.

Следовательно, при $a = \frac{2}{3}$ исходное уравнение превращается в уравнение $0 \cdot x = -\frac{4}{3}$, которое не имеет решений.

Ответ: $a = \frac{2}{3}$.