Номер 1385, страница 262 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения для повторения курса 7 класса - номер 1385, страница 262.

Условие.

1385. Докажите, что выражение

$(a+b-c)(a-b) + (b+c-a)(b-c) + (c+a-b)(c-a)$

тождественно равно нулю.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Чтобы доказать, что данное выражение тождественно равно нулю, необходимо его упростить. Для этого последовательно раскроем скобки в каждом из трех слагаемых.

1. Раскроем скобки в первом слагаемом:

$(a+b-c)(a-b) = a \cdot (a+b-c) - b \cdot (a+b-c) = (a^2 + ab - ac) - (ab + b^2 - bc) = a^2 + ab - ac - ab - b^2 + bc = a^2 - b^2 - ac + bc$

2. Раскроем скобки во втором слагаемом:

$(b+c-a)(b-c) = b \cdot (b+c-a) - c \cdot (b+c-a) = (b^2 + bc - ab) - (bc + c^2 - ac) = b^2 + bc - ab - bc - c^2 + ac = b^2 - c^2 - ab + ac$

3. Раскроем скобки в третьем слагаемом:

$(c+a-b)(c-a) = c \cdot (c+a-b) - a \cdot (c+a-b) = (c^2 + ac - bc) - (ac + a^2 - ab) = c^2 + ac - bc - ac - a^2 + ab = c^2 - a^2 - bc + ab$

Теперь сложим три полученных выражения:

$(a^2 - b^2 - ac + bc) + (b^2 - c^2 - ab + ac) + (c^2 - a^2 - bc + ab)$

Снимем скобки и сгруппируем подобные члены:

$a^2 - b^2 - ac + bc + b^2 - c^2 - ab + ac + c^2 - a^2 - bc + ab = (a^2 - a^2) + (-b^2 + b^2) + (-c^2 + c^2) + (-ab + ab) + (bc - bc) + (-ac + ac)$

Выполнив сложение в каждой группе, получаем:

$0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 0$

Поскольку в результате всех преобразований выражение равно 0, тождество доказано.

Ответ: Выражение тождественно равно нулю.