Номер 1392, страница 262 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения для повторения курса 7 класса - номер 1392, страница 262.

Условие.

1392. При каком значении $a$ уравнение $(a-3)(a+5) x = a^2 - 9$:

1) имеет бесконечно много корней;

2) не имеет корней;

3) имеет один корень?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Проанализируем данное линейное уравнение $(a - 3)(a + 5)x = a^2 - 9$.

Это уравнение вида $kx = b$, где коэффициент при $x$ равен $k = (a - 3)(a + 5)$, а свободный член $b = a^2 - 9$. Для удобства анализа разложим свободный член на множители по формуле разности квадратов: $b = (a - 3)(a + 3)$.

Количество корней уравнения зависит от значений коэффициентов $k$ и $b$.

1) имеет бесконечно много корней

Уравнение имеет бесконечно много корней тогда и только тогда, когда оно принимает вид $0 \cdot x = 0$. Это выполняется при условии, что и коэффициент $k$, и свободный член $b$ одновременно равны нулю.

Приравняем оба выражения к нулю:
$k = (a - 3)(a + 5) = 0$, откуда $a = 3$ или $a = -5$.
$b = (a - 3)(a + 3) = 0$, откуда $a = 3$ или $a = -3$.

Оба условия ($k=0$ и $b=0$) выполняются одновременно только при общем значении $a=3$. При подстановке этого значения в исходное уравнение получаем $0 \cdot x = 0$, что является верным равенством для любого значения $x$.

Ответ: при $a=3$.

2) не имеет корней

Уравнение не имеет корней, если оно сводится к неверному равенству вида $0 \cdot x = b$, где $b \neq 0$. Это происходит, когда коэффициент $k=0$, а свободный член $b \neq 0$.

Из пункта 1 мы знаем, что $k=0$ при $a=3$ или $a=-5$.

Рассмотрим эти два случая. При $a=3$, свободный член $b=0$, что приводит к бесконечному числу корней. При $a=-5$, свободный член $b = (-5)^2 - 9 = 25 - 9 = 16$. Поскольку $b=16 \neq 0$, это искомое значение. При $a=-5$ уравнение принимает вид $0 \cdot x = 16$, которое не имеет решений.

Ответ: при $a=-5$.

3) имеет один корень

Уравнение имеет ровно один корень, если коэффициент при $x$ не равен нулю ($k \neq 0$). В этом случае корень находится как $x = b/k$.

Условие $k \neq 0$ означает, что $(a - 3)(a + 5) \neq 0$. Произведение не равно нулю, когда каждый из множителей не равен нулю, то есть $a - 3 \neq 0$ и $a + 5 \neq 0$.

Отсюда следует, что $a \neq 3$ и $a \neq -5$. При всех таких значениях $a$ уравнение будет иметь единственный корень.

Ответ: при $a \neq 3$ и $a \neq -5$.