Номер 1396, страница 263 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения для повторения курса 7 класса - номер 1396, страница 263.

Условие.

1396. Существует ли такое натуральное значение $n$, при котором значение выражения $(2n - 3)(2n + 3) - (n + 3)^2$ не делилось бы нацело на 3?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Чтобы ответить на поставленный вопрос, сперва упростим данное алгебраическое выражение: $(2n-3)(2n+3) - (n+3)^2$.

Первый член выражения, $(2n-3)(2n+3)$, представляет собой произведение разности и суммы двух чисел. Используем формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$:

$(2n-3)(2n+3) = (2n)^2 - 3^2 = 4n^2 - 9$.

Второй член выражения, $(n+3)^2$, является квадратом суммы. Раскроем его по формуле $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$(n+3)^2 = n^2 + 2 \cdot n \cdot 3 + 3^2 = n^2 + 6n + 9$.

Теперь подставим упрощенные части обратно в исходное выражение и выполним вычитание:

$(4n^2 - 9) - (n^2 + 6n + 9) = 4n^2 - 9 - n^2 - 6n - 9$.

Приведем подобные слагаемые, сгруппировав их:

$(4n^2 - n^2) - 6n - (9 + 9) = 3n^2 - 6n - 18$.

Итак, мы упростили выражение до вида $3n^2 - 6n - 18$. Теперь необходимо проверить его на делимость на 3. Заметим, что каждый коэффициент этого многочлена кратен 3. Вынесем общий множитель 3 за скобки:

$3n^2 - 6n - 18 = 3(n^2 - 2n - 6)$.

По условию $n$ — натуральное число, то есть целое положительное число. Тогда выражение в скобках $(n^2 - 2n - 6)$ всегда будет являться целым числом. Таким образом, значение всего исходного выражения можно представить в виде $3 \cdot k$, где $k = n^2 - 2n - 6$ — целое число.

По определению делимости, если число можно представить как произведение 3 и некоторого целого числа, то оно делится на 3 нацело. Следовательно, значение выражения $(2n-3)(2n+3) - (n+3)^2$ всегда делится на 3 при любом натуральном $n$.

Вопрос задачи — существует ли такое натуральное $n$, при котором выражение не делилось бы нацело на 3. Наш анализ показывает, что такого $n$ не существует.

Ответ: не существует, так как при любом натуральном значении $n$ значение данного выражения делится нацело на 3.